الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الهندسة وحساب المثلثات — الموضوع 3
- 1.
يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام الارتفاع = 10 × sin(65°).
- الحصول على ارتفاع 9.06 أمتار.
ملاحظة الفاحص: ارسم المثلث قائم الزاوية أولاً: السلّم هو الوتر، والارتفاع على الجدار يقابل الزاوية المعطاة، لذا الجيب هو النسبة الصحيحة.
- 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يستند سلّم طوله 10 أمتار إلى جدار رأسي، ويصنع زاوية 65° مع الأرض الأفقية. احسب الارتفاع الذي يبلغه السلّم على الجدار.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الارتفاع = 10 × sin(65°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام الارتفاع = 10 × sin(65°).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على ارتفاع 9.06 أمتار.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 3.
يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام tan(الزاوية) = 50/120.
- الحصول على زاوية ارتفاع مقدارها 22.6°.
ملاحظة الفاحص: تُقاس زاوية الارتفاع من الأفقي صعوداً إلى خط البصر — حدد دائماً الضلعين الأفقي والرأسي قبل اختيار tan أو sin أو cos.
- 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يبلغ ارتفاع مبنى 50 متراً. يقف مراقب على بعد 120 متراً من قاعدة المبنى على أرض مستوية. احسب زاوية الارتفاع من المراقب إلى قمة المبنى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام tan(الزاوية) = 50/120.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام tan(الزاوية) = 50/120.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على زاوية ارتفاع مقدارها 22.6°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 5.
في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- كتابة قاعدة الجيب a/sin(A) = b/sin(B).
- إعادة الترتيب إلى b = 12 × sin(65°)/sin(40°).
- الحصول على b ≈ 16.9 سم.
ملاحظة الفاحص: تقرن قاعدة الجيب كل ضلع بالزاوية المقابلة له مباشرة — تحقق من تطابق الأضلاع والزوايا بشكل صحيح قبل التعويض.
- 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، الزاوية A = 40°، والزاوية B = 65°، والضلع a = 12 سم. استخدم قاعدة الجيب لإيجاد طول الضلع b.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة الجيب a/sin(A) = b/sin(B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة الجيب a/sin(A) = b/sin(B).
- يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب إلى b = 12 × sin(65°)/sin(40°).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على b ≈ 16.9 سم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 7.
في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- كتابة قاعدة جيب التمام a² = b² + c² − 2bc·cos(A).
- تعويض a² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(55°).
- الحصول على a ≈ 8.50 سم.
ملاحظة الفاحص: استخدم قاعدة جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ض.ز.ض) — لا يمكن بدء قاعدة الجيب مباشرة من هذه المعلومات.
- 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، b = 8 سم، وc = 10 سم، والزاوية بينهما A = 55°. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع a.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة جيب التمام a² = b² + c² − 2bc·cos(A).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة جيب التمام a² = b² + c² − 2bc·cos(A).
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض a² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(55°).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a ≈ 8.50 سم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 9.
في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- إعادة ترتيب قاعدة جيب التمام إلى cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).
- تعويض للحصول على cos(C) = (49 + 81 − 144)/126 ≈ −0.111.
- الحصول على C ≈ 96.4°، مع ملاحظة صحيحة أن الزاوية منفرجة لأن cos(C) سالبة.
ملاحظة الفاحص: تشير قيمة جيب التمام السالبة دائماً إلى زاوية منفرجة — هذا فحص مفيد للتأكد من عدم الخطأ في تحديد أطول ضلع في المثلث.
- 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 7 سم، وb = 9 سم، وc = 12 سم. استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية C، الزاوية المقابلة لأطول ضلع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة ترتيب قاعدة جيب التمام إلى cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة ترتيب قاعدة جيب التمام إلى cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).
- يحدد المتطلب الناقص: تعويض للحصول على cos(C) = (49 + 81 − 144)/126 ≈ −0.111.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على C ≈ 96.4°، مع ملاحظة صحيحة أن الزاوية منفرجة لأن cos(C) سالبة.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 11.
للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام صيغة المساحة = (1/2)ab·sin(C).
- الحصول على مساحة 43.1 سم².
ملاحظة الفاحص: تحتاج صيغة المساحة هذه إلى ضلعين فقط والزاوية المحصورة بينهما — لا حاجة لقياس الارتفاع.
- 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث ABC ضلعان a = 10 سم وb = 14 سم، والزاوية المحصورة بينهما C = 38°. احسب مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المساحة = (1/2)ab·sin(C).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المساحة = (1/2)ab·sin(C).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة 43.1 سم².
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 13.
تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إدراك أن الزاوية الداخلية عند B بين BA وBC هي 180° − (140° − 70°) = 110°.
- تطبيق قاعدة جيب التمام: AC² = 50² + 70² − 2(50)(70)cos(110°).
- تقييم الطرف الأيمن بشكل صحيح.
- الحصول على AC ≈ 99.0 كم.
ملاحظة الفاحص: ارسم مخططاً يحدد خطوط الشمال عند كل نقطة انعطاف أولاً — نادراً ما تكون الزاوية الداخلية لقاعدة جيب التمام مجرد الفرق بين الاتجاهين.
- 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر سفينة 50 كم من الميناء A باتجاه 070° لتصل إلى النقطة B، ثم تبحر 70 كم باتجاه 140° لتصل إلى النقطة C. احسب المسافة المستقيمة من A إلى C.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن الزاوية الداخلية عند B بين BA وBC هي 180° − (140° − 70°) = 110°.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن الزاوية الداخلية عند B بين BA وBC هي 180° − (140° − 70°) = 110°.
- يحدد المتطلب الناقص: تطبيق قاعدة جيب التمام: AC² = 50² + 70² − 2(50)(70)cos(110°).
- يحدد المتطلب الناقص: تقييم الطرف الأيمن بشكل صحيح.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AC ≈ 99.0 كم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 15.
تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- رسم الإزاحة وتحديد الزاوية من الشمال بـ arctan(شرق/شمال).
- حساب arctan(40/30) ≈ 53.1°.
- تحديد الاتجاه بـ 053°، مقاساً بعقارب الساعة من الشمال.
ملاحظة الفاحص: تُعطى الاتجاهات دائماً بثلاثة أرقام تُقاس بعقارب الساعة من الشمال — حوّل زاوية المثلث إلى هذه الصورة في النهاية.
- 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تبحر قارب من النقطة A إلى النقطة B، فتقطع 40 كم شرقاً و30 كم شمالاً. احسب اتجاه B من A.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «رسم الإزاحة وتحديد الزاوية من الشمال بـ arctan(شرق/شمال).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: رسم الإزاحة وتحديد الزاوية من الشمال بـ arctan(شرق/شمال).
- يحدد المتطلب الناقص: حساب arctan(40/30) ≈ 53.1°.
- يحدد المتطلب الناقص: تحديد الاتجاه بـ 053°، مقاساً بعقارب الساعة من الشمال.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 17.
لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- استخدام نظرية فيثاغورس: المَوْلِد² = 6² + 8².
- الحصول على مَوْلِد طوله 10 سم.
- استخدام tan(الزاوية) = 8/6 لإيجاد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.
- الحصول على زاوية مقدارها 53.1°.
ملاحظة الفاحص: يُشكّل نصف القطر والارتفاع والمَوْلِد في المخروط دائماً مثلثاً قائم الزاوية، يكون المَوْلِد فيه الوتر.
- 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمخروط نصف قطر قاعدة 6 سم وارتفاع 8 سم. (أ) أوجد طول المَوْلِد (الارتفاع المائل) للمخروط. (ب) أوجد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام نظرية فيثاغورس: المَوْلِد² = 6² + 8².» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام نظرية فيثاغورس: المَوْلِد² = 6² + 8².
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مَوْلِد طوله 10 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام tan(الزاوية) = 8/6 لإيجاد الزاوية بين المَوْلِد والقاعدة.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على زاوية مقدارها 53.1°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 19.
لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- إيجاد قطر القاعدة أولاً: √(5² + 7²) ≈ 8.60 سم.
- إيجاد القطر الفراغي باستخدام √(5² + 7² + 9²) ≈ 12.45 سم.
- استخدام tan(الزاوية) = 9/8.60 مع قطر القاعدة والارتفاع.
- الحصول على زاوية تقارب 46.3°.
ملاحظة الفاحص: يُختزل إيجاد زاوية ثلاثية الأبعاد دائماً إلى مثلث مستوٍ قائم الزاوية — حدد الارتفاع الرأسي والقطر الأفقي الصحيح قبل تطبيق حساب المثلثات.
- 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتوازي مستطيلات طول 5 سم وعرض 7 سم وارتفاع 9 سم. (أ) أوجد طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات. (ب) أوجد الزاوية التي يصنعها هذا القطر مع القاعدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد قطر القاعدة أولاً: √(5² + 7²) ≈ 8.60 سم.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد قطر القاعدة أولاً: √(5² + 7²) ≈ 8.60 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: إيجاد القطر الفراغي باستخدام √(5² + 7² + 9²) ≈ 12.45 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام tan(الزاوية) = 9/8.60 مع قطر القاعدة والارتفاع.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على زاوية تقارب 46.3°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 21.
لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحويل 50° إلى راديان: 50 × π/180 ≈ 0.873 راديان.
- استخدام طول القوس = r × θ (بالراديان).
- الحصول على طول قوس مقداره 13.1 سم.
ملاحظة الفاحص: تتطلب صيغة طول القوس s = rθ أن تكون الزاوية بالراديان — حوّل من الدرجات أولاً دائماً، أو اضبط آلتك الحاسبة على وضع الراديان.
- 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لدائرة نصف قطرها 15 سم. أوجد طول القوس الذي يقابله زاوية 50° عند المركز.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 50° إلى راديان: 50 × π/180 ≈ 0.873 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحويل 50° إلى راديان: 50 × π/180 ≈ 0.873 راديان.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام طول القوس = r × θ (بالراديان).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على طول قوس مقداره 13.1 سم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 23.
لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- تحويل 120° إلى راديان: 120 × π/180 ≈ 2.094 راديان.
- استخدام مساحة القطاع = (1/2)r²θ (بالراديان).
- الحصول على مساحة 84.8 سم².
ملاحظة الفاحص: مثل صيغة طول القوس، تتطلب صيغة مساحة القطاع الراديان — هذا موضع شائع لفقدان العلامات بسبب نسيان التحويل.
- 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقطاع دائري نصف قطره 9 سم وزاويته المركزية 120°. أوجد مساحة القطاع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحويل 120° إلى راديان: 120 × π/180 ≈ 2.094 راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحويل 120° إلى راديان: 120 × π/180 ≈ 2.094 راديان.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام مساحة القطاع = (1/2)r²θ (بالراديان).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة 84.8 سم².
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 25.
يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- جمع المتجهين مركبةً مركبةً: a + b = (3 + (−1), 4 + 2) = (2, 6).
- استخدام المقدار = √(2² + 6²).
- الحصول على مقدار 6.32.
- استخدام الزاوية = arctan(6/2) للحصول على زاوية 71.6° من المحور السيني الموجب.
ملاحظة الفاحص: اجمع المتجهات مركبةً مركبةً، ولا تجمع مقاديرها مباشرة أبداً — مقدار المجموع ليس مجموع المقادير إلا عندما تكون المتجهات في الاتجاه نفسه.
- 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمثل المتجهان a = (3, 4) وb = (−1, 2) إزاحتين. (أ) أوجد المتجه المحصلة a + b. (ب) أوجد مقدار المحصلة والزاوية التي تصنعها مع المحور السيني الموجب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «جمع المتجهين مركبةً مركبةً: a + b = (3 + (−1), 4 + 2) = (2, 6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: جمع المتجهين مركبةً مركبةً: a + b = (3 + (−1), 4 + 2) = (2, 6).
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام المقدار = √(2² + 6²).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مقدار 6.32.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام الزاوية = arctan(6/2) للحصول على زاوية 71.6° من المحور السيني الموجب.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 27.
المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- ضرب الضلع المعطى في معامل التكبير: PQ = 8 × 1.5.
- الحصول على PQ = 12 سم.
ملاحظة الفاحص: تأكد من تطبيق معامل التكبير في الاتجاه الصحيح — اضرب عند التكبير إلى الشكل المشابه الأكبر، واقسم عند التصغير.
- 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، بمعامل تكبير 1.5 من XYZ إلى PQR. إذا كان الضلع XY = 8 سم، أوجد طول الضلع المقابل PQ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ضرب الضلع المعطى في معامل التكبير: PQ = 8 × 1.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ضرب الضلع المعطى في معامل التكبير: PQ = 8 × 1.5.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على PQ = 12 سم.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 29.
من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- إدراك أن زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب، بالزوايا المتبادلة.
- استخدام tan(25°) = 45/d، حيث d المسافة الأفقية.
- الحصول على d ≈ 96.5 متراً.
ملاحظة الفاحص: تُقاس زاوية الانخفاض دائماً من الأفقي عند مستوى عين المراقب نحو الأسفل — وهي تساوي زاوية الارتفاع المقاسة من الجسم، وليس من قاعدة المنحدر.
- 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «من أعلى منحدر رأسي ارتفاعه 45 متراً، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر هي 25°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة المنحدر إلى القارب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدراك أن زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب، بالزوايا المتبادلة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدراك أن زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب، بالزوايا المتبادلة.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام tan(25°) = 45/d، حيث d المسافة الأفقية.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على d ≈ 96.5 متراً.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.
- 31.
في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.
[6 درجة]نقاط التصحيح
- تطبيق قاعدة جيب التمام: c² = 9² + 11² − 2(9)(11)cos(50°).
- الحصول على c ≈ 8.64 سم.
- تطبيق قاعدة الجيب: sin(A)/9 = sin(50°)/8.64.
- الحصول على A ≈ 52.9°.
- استخدام مجموع زوايا المثلث: B = 180° − 50° − A.
- الحصول على B ≈ 77.1°.
ملاحظة الفاحص: بمجرد معرفة الأضلاع الثلاثة وزاوية واحدة، انتقل إلى قاعدة الجيب لإيجاد الزوايا المتبقية — فهي أبسط من تطبيق قاعدة جيب التمام مرتين.
- 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، a = 9 سم، وb = 11 سم، والزاوية C = 50°. (أ) استخدم قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع c. (ب) استخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية A. (ج) ومن ثم أوجد الزاوية B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق قاعدة جيب التمام: c² = 9² + 11² − 2(9)(11)cos(50°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة]نقاط التصحيح
- يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق قاعدة جيب التمام: c² = 9² + 11² − 2(9)(11)cos(50°).
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على c ≈ 8.64 سم.
- يحدد المتطلب الناقص: تطبيق قاعدة الجيب: sin(A)/9 = sin(50°)/8.64.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على A ≈ 52.9°.
- يحدد المتطلب الناقص: استخدام مجموع زوايا المثلث: B = 180° − 50° − A.
- يحدد المتطلب الناقص: الحصول على B ≈ 77.1°.
ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.