الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL
الإحصاء والانحدار — الموضوع 4
- 1.
يسجّل استطلاع لـ120 طالباً وقت الدراسة المفضل (صباحاً/مساءً) مقابل الصف الدراسي (الصف 12 / الصف 13). تعطي التكرارات المشاهدة إحصائية اختبار χ² محسوبة تساوي 4.83، والقيمة الحرجة عند مستوى دلالة 5% هي 3.84. (أ) اذكر الفرضية الصفرية لهذا الاختبار. (ب) حدد ما إذا كان وقت الدراسة المفضل والصف الدراسي مستقلين. (ج) بَرِّر استنتاجك باستخدام كلتا القيمتين. (د) اذكر شرطاً واحداً لازماً لصحة اختبار كاي تربيع.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل استطلاع لـ120 طالباً وقت الدراسة المفضل (صباحاً/مساءً) مقابل الصف الدراسي (الصف 12 / الصف 13). تعطي التكرارات المشاهدة إحصائية اختبار χ² محسوبة تساوي 4.83، والقيمة الحرجة عند مستوى دلالة 5% هي 3.84. (أ) اذكر الفرضية الصفرية لهذا الاختبار. (ب) حدد ما إذا كان وقت الدراسة المفضل والصف الدراسي مستقلين. (ج) بَرِّر استنتاجك باستخدام كلتا القيمتين. (د) اذكر شرطاً واحداً لازماً لصحة اختبار كاي تربيع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: وقت الدراسة المفضل مستقل عن الصف الدراسي.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
يسجّل مدير مقهى درجة الحرارة اليومية x (°م) ومبيعات المشروبات المثلجة y لستة أيام: (18,20)، (21,29)، (24,38)، (27,44)، (30,55)، (33,58). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة معامل ارتباط بيرسون r وفسّر قوته. (ج) استخدم معادلتك لتقدير المبيعات عند درجة حرارة 26°م. (د) اشرح سبب عدم ملاءمة استخدام هذه المعادلة لتقدير المبيعات عند 5°م.
[5 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل مدير مقهى درجة الحرارة اليومية x (°م) ومبيعات المشروبات المثلجة y لستة أيام: (18,20)، (21,29)، (24,38)، (27,44)، (30,55)، (33,58). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة معامل ارتباط بيرسون r وفسّر قوته. (ج) استخدم معادلتك لتقدير المبيعات عند درجة حرارة 26°م. (د) اشرح سبب عدم ملاءمة استخدام هذه المعادلة لتقدير المبيعات عند 5°م.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 2.61x − 25.9 (يُقبل التقريب المكافئ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 5.
تنتج آلة في مصنع مكونات معيبة باستقلالية باحتمال 0.04. في عينة عشوائية من 50 مكوناً، لتكن X عدد المكونات المعيبة، وتُفترض متبعة التوزيع ذي الحدين. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) حدد قيمتي n وp. (ب) احسب P(X = 2). (ج) احسب P(X ≤ 1). (د) احسب العدد المتوقع للمكونات المعيبة في العينة.
[4 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تنتج آلة في مصنع مكونات معيبة باستقلالية باحتمال 0.04. في عينة عشوائية من 50 مكوناً، لتكن X عدد المكونات المعيبة، وتُفترض متبعة التوزيع ذي الحدين. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) حدد قيمتي n وp. (ب) احسب P(X = 2). (ج) احسب P(X ≤ 1). (د) احسب العدد المتوقع للمكونات المعيبة في العينة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 50 وp = 0.04.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 7.
يُصنَّف استطلاع لأوقات الانتظار (بالدقائق) كالتالي: 10 (تكرار 4)، 20 (تكرار 8)، 30 (تكرار 10)، 40 (تكرار 5)، 50 (تكرار 3)، حيث كل قيمة هي منتصف فئتها. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية، احسب متوسط أوقات الانتظار وانحرافها المعياري.
[3 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُصنَّف استطلاع لأوقات الانتظار (بالدقائق) كالتالي: 10 (تكرار 4)، 20 (تكرار 8)، 30 (تكرار 10)، 40 (تكرار 5)، 50 (تكرار 3)، حيث كل قيمة هي منتصف فئتها. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية، احسب متوسط أوقات الانتظار وانحرافها المعياري.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدخال نقاط المنتصف والتكرارات في دالة الإحصاء أحادي المتغير في الآلة الحاسبة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 9.
تُسرد القيم الإحدى عشرة التالية تصاعدياً: 12، 15، 18، 21، 23، 25، 27، 29، 33، 36، 40. أوجد الوسيط، والربيع الأدنى Q1، والربيع الأعلى Q3، والمدى الربيعي.
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُسرد القيم الإحدى عشرة التالية تصاعدياً: 12، 15، 18، 21، 23، 25، 27، 29، 33، 36، 40. أوجد الوسيط، والربيع الأدنى Q1، والربيع الأعلى Q3، والمدى الربيعي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الوسيط بوصفه القيمة السادسة، 25.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
يحتوي اختبار اختيار من متعدد على 15 سؤالاً، لكل منها 4 خيارات وإجابة صحيحة واحدة فقط. يُخمّن طالب عشوائياً في كل سؤال. لتكن X عدد التخمينات الصحيحة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب احتمال حصول الطالب على 5 إجابات صحيحة على الأقل.
[3 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي اختبار اختيار من متعدد على 15 سؤالاً، لكل منها 4 خيارات وإجابة صحيحة واحدة فقط. يُخمّن طالب عشوائياً في كل سؤال. لتكن X عدد التخمينات الصحيحة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب احتمال حصول الطالب على 5 إجابات صحيحة على الأقل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 15 وp = 0.25 (احتمال التخمين الصحيح في أي سؤال واحد).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 13.
تملأ آلة زجاجات بحجم يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 60 مل. من المعروف أن 85% من الزجاجات تحتوي أقل من 70 مل. أوجد الانحراف المعياري لحجم التعبئة، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تملأ آلة زجاجات بحجم يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 60 مل. من المعروف أن 85% من الزجاجات تحتوي أقل من 70 مل. أوجد الانحراف المعياري لحجم التعبئة، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي لإيجاد قيمة z المقابلة لاحتمال تراكمي 0.85، فيُحصل على z ≈ 1.0364.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
يرتّب ستة حكّام ست لاعبات جمباز (من A إلى F) في مسابقة. الرتب التي يعطيها الحكم 1 والحكم 2 هي: الحكم 1: A=1، B=2، C=3، D=4، E=5، F=6. الحكم 2: A=2، B=1، C=4، D=3، E=6، F=5. احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين ترتيبي الحكمين، وفسّر قيمته.
[4 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يرتّب ستة حكّام ست لاعبات جمباز (من A إلى F) في مسابقة. الرتب التي يعطيها الحكم 1 والحكم 2 هي: الحكم 1: A=1، B=2، C=3، D=4، E=5، F=6. الحكم 2: A=2، B=1، C=4، D=3، E=6، F=5. احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين ترتيبي الحكمين، وفسّر قيمته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الفرق d بين كل زوج من الرتب: 1، 1، 1، 1، 1، 1 (بالقيمة المطلقة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 17.
يُرمى حجر نرد سداسي الأوجه 60 مرة، بتكرارات مشاهدة للأوجه من 1 إلى 6: 8، 12، 9، 11، 10، 10. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان النرد عادلاً. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) بمعلومية قيمة حرجة تساوي 11.07، اذكر استنتاجك.
[5 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُرمى حجر نرد سداسي الأوجه 60 مرة، بتكرارات مشاهدة للأوجه من 1 إلى 6: 8، 12، 9، 11، 10، 10. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان النرد عادلاً. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) بمعلومية قيمة حرجة تساوي 11.07، اذكر استنتاجك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: النرد عادل (احتمال كل وجه 1/6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 19.
متغير عشوائي منفصل X له توزيع احتمالي: P(X=0) = 0.1، وP(X=1) = 0.3، وP(X=2) = 0.4، وP(X=3) = 0.2. احسب E(X) وVar(X).
[4 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متغير عشوائي منفصل X له توزيع احتمالي: P(X=0) = 0.1، وP(X=1) = 0.3، وP(X=2) = 0.4، وP(X=3) = 0.2. احسب E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التأكد من أن الاحتمالات مجموعها 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 21.
في مدرسة 120 طالباً في الصف 10، و180 في الصف 11، و300 في الصف 12. سيُختار عيّنة طبقية من 50 طالباً، بالتناسب مع حجم كل صف. احسب عدد الطلاب الذين ينبغي اختيارهم من كل صف.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في مدرسة 120 طالباً في الصف 10، و180 في الصف 11، و300 في الصف 12. سيُختار عيّنة طبقية من 50 طالباً، بالتناسب مع حجم كل صف. احسب عدد الطلاب الذين ينبغي اختيارهم من كل صف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد إجمالي عدد السكان بـ 120 + 180 + 300 = 600.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
يؤدي صفان الاختبار نفسه. متوسط درجات الصف A هو 68 بانحراف معياري 5. ومتوسط درجات الصف B هو 68 بانحراف معياري 14. اشرح ما يخبرك به الفرق في الانحراف المعياري عن نتائج الصفين، رغم تساوي متوسطيهما.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يؤدي صفان الاختبار نفسه. متوسط درجات الصف A هو 68 بانحراف معياري 5. ومتوسط درجات الصف B هو 68 بانحراف معياري 14. اشرح ما يخبرك به الفرق في الانحراف المعياري عن نتائج الصفين، رغم تساوي متوسطيهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يشرح أن درجات الصف A أكثر تجمعاً حول المتوسط 68، بينما درجات الصف B أكثر تشتتاً بكثير.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 25.
يسجّل عالم نمو نبتة، x يوماً بعد الزراعة، وارتفاعها y سم: (2,5)، (4,9)، (6,13)، (8,16)، (10,21)، (12,24). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة r وفسّر قوة الارتباط. (ج) استخدم معادلتك لتقدير الارتفاع عند x = 7 أيام.
[4 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل عالم نمو نبتة، x يوماً بعد الزراعة، وارتفاعها y سم: (2,5)، (4,9)، (6,13)، (8,16)، (10,21)، (12,24). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة r وفسّر قوة الارتباط. (ج) استخدم معادلتك لتقدير الارتفاع عند x = 7 أيام.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 1.91x + 1.27 (يُقبل التقريب المكافئ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 27.
يحتوي صندوق كبير من المكونات على 40% عناصر معيبة. تُؤخذ عينة عشوائية من 40 مكوناً، وX عدد المكونات المعيبة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب متوسط X وتباينه.
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي صندوق كبير من المكونات على 40% عناصر معيبة. تُؤخذ عينة عشوائية من 40 مكوناً، وX عدد المكونات المعيبة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب متوسط X وتباينه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 40 وp = 0.4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
يتبع عمر نوع معين من المصابيح التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 ساعة وانحراف معياري 20 ساعة. (أ) احسب احتمال أن يدوم مصباح مختار عشوائياً بين 480 و530 ساعة. (ب) أوجد العمر x بحيث تدوم 20% فقط من المصابيح أطول من x ساعة.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتبع عمر نوع معين من المصابيح التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 ساعة وانحراف معياري 20 ساعة. (أ) احسب احتمال أن يدوم مصباح مختار عشوائياً بين 480 و530 ساعة. (ب) أوجد العمر x بحيث تدوم 20% فقط من المصابيح أطول من x ساعة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 وانحراف معياري 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
يسجّل استطلاع حالة التدخين (مدخن/غير مدخن) عبر ثلاث فئات عمرية، بتكرارات مشاهدة: الفئة العمرية 1: 30 مدخناً، 20 غير مدخن. الفئة العمرية 2: 25 مدخناً، 35 غير مدخن. الفئة العمرية 3: 15 مدخناً، 25 غير مدخن. اختبر، عند مستوى دلالة 5% بقيمة حرجة 5.991، ما إذا كانت حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) اذكر استنتاجك.
[6 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل استطلاع حالة التدخين (مدخن/غير مدخن) عبر ثلاث فئات عمرية، بتكرارات مشاهدة: الفئة العمرية 1: 30 مدخناً، 20 غير مدخن. الفئة العمرية 2: 25 مدخناً، 35 غير مدخن. الفئة العمرية 3: 15 مدخناً، 25 غير مدخن. اختبر، عند مستوى دلالة 5% بقيمة حرجة 5.991، ما إذا كانت حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) اذكر استنتاجك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة]