الرياضيات: التطبيقات والتفسير SL

1. 1.

   يسجّل استطلاع لـ120 طالباً وقت الدراسة المفضل (صباحاً/مساءً) مقابل الصف الدراسي (الصف 12 / الصف 13). تعطي التكرارات المشاهدة إحصائية اختبار χ² محسوبة تساوي 4.83، والقيمة الحرجة عند مستوى دلالة 5% هي 3.84. (أ) اذكر الفرضية الصفرية لهذا الاختبار. (ب) حدد ما إذا كان وقت الدراسة المفضل والصف الدراسي مستقلين. (ج) بَرِّر استنتاجك باستخدام كلتا القيمتين. (د) اذكر شرطاً واحداً لازماً لصحة اختبار كاي تربيع.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد H0: وقت الدراسة المفضل مستقل عن الصف الدراسي.
   • توضيح أن المتغيرين غير مستقلين (بينهما ارتباط).
   • التبرير باستخدام حقيقة أن الإحصائية المحسوبة (4.83) تتجاوز القيمة الحرجة (3.84).
   • ذكر شرط صحيح، مثل أن تكون جميع التكرارات المتوقعة 5 على الأقل.

   ملاحظة الفاحص: عندما تكون الإحصائية المحسوبة أكبر من القيمة الحرجة، يكون النمط المشاهد غير مرجّح في ظل الاستقلالية، لذا تُرفض H0.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل استطلاع لـ120 طالباً وقت الدراسة المفضل (صباحاً/مساءً) مقابل الصف الدراسي (الصف 12 / الصف 13). تعطي التكرارات المشاهدة إحصائية اختبار χ² محسوبة تساوي 4.83، والقيمة الحرجة عند مستوى دلالة 5% هي 3.84. (أ) اذكر الفرضية الصفرية لهذا الاختبار. (ب) حدد ما إذا كان وقت الدراسة المفضل والصف الدراسي مستقلين. (ج) بَرِّر استنتاجك باستخدام كلتا القيمتين. (د) اذكر شرطاً واحداً لازماً لصحة اختبار كاي تربيع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: وقت الدراسة المفضل مستقل عن الصف الدراسي.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: وقت الدراسة المفضل مستقل عن الصف الدراسي.
   • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن المتغيرين غير مستقلين (بينهما ارتباط).
   • يحدد المتطلب الناقص: التبرير باستخدام حقيقة أن الإحصائية المحسوبة (4.83) تتجاوز القيمة الحرجة (3.84).
   • يحدد المتطلب الناقص: ذكر شرط صحيح، مثل أن تكون جميع التكرارات المتوقعة 5 على الأقل.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   يسجّل مدير مقهى درجة الحرارة اليومية x (°م) ومبيعات المشروبات المثلجة y لستة أيام: (18,20)، (21,29)، (24,38)، (27,44)، (30,55)، (33,58). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة معامل ارتباط بيرسون r وفسّر قوته. (ج) استخدم معادلتك لتقدير المبيعات عند درجة حرارة 26°م. (د) اشرح سبب عدم ملاءمة استخدام هذه المعادلة لتقدير المبيعات عند 5°م.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 2.61x − 25.9 (يُقبل التقريب المكافئ).
   • ذكر أن r ≈ 0.993 (أو ما يقاربها من 1).
   • تفسير r بأنها تدل على ارتباط خطي موجب قوي جداً.
   • تعويض x = 26 لتقدير y ≈ 42 مشروباً.
   • توضيح أن 5°م تقع بعيداً خارج مدى قيم x المسجلة، لذا يُعد ذلك استقراءً وقد لا يكون موثوقاً.

   ملاحظة الفاحص: وضّح ما إذا كان التقدير باستخدام الاستيفاء أو الاستقراء؛ فالاستقراء يحمل خطراً أكبر بكثير للخطأ.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل مدير مقهى درجة الحرارة اليومية x (°م) ومبيعات المشروبات المثلجة y لستة أيام: (18,20)، (21,29)، (24,38)، (27,44)، (30,55)، (33,58). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة معامل ارتباط بيرسون r وفسّر قوته. (ج) استخدم معادلتك لتقدير المبيعات عند درجة حرارة 26°م. (د) اشرح سبب عدم ملاءمة استخدام هذه المعادلة لتقدير المبيعات عند 5°م.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 2.61x − 25.9 (يُقبل التقريب المكافئ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 2.61x − 25.9 (يُقبل التقريب المكافئ).
   • يحدد المتطلب الناقص: ذكر أن r ≈ 0.993 (أو ما يقاربها من 1).
   • يحدد المتطلب الناقص: تفسير r بأنها تدل على ارتباط خطي موجب قوي جداً.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 26 لتقدير y ≈ 42 مشروباً.
   • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أن 5°م تقع بعيداً خارج مدى قيم x المسجلة، لذا يُعد ذلك استقراءً وقد لا يكون موثوقاً.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   تنتج آلة في مصنع مكونات معيبة باستقلالية باحتمال 0.04. في عينة عشوائية من 50 مكوناً، لتكن X عدد المكونات المعيبة، وتُفترض متبعة التوزيع ذي الحدين. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) حدد قيمتي n وp. (ب) احسب P(X = 2). (ج) احسب P(X ≤ 1). (د) احسب العدد المتوقع للمكونات المعيبة في العينة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد n = 50 وp = 0.04.
   • استخدام التوزيع ذي الحدين للحصول على P(X = 2) ≈ 0.276.
   • حساب P(X ≤ 1) ≈ 0.400 كمجموع P(X = 0) وP(X = 1).
   • استخدام E(X) = np للحصول على قيمة متوقعة تساوي 2.

   ملاحظة الفاحص: في مسائل التوزيع ذي الحدين تُؤخذ n وp مباشرة من حجم العينة والاحتمال المعطى؛ استخدم الدالة التراكمية لـ«على الأكثر» والمتمم لـ«على الأقل».

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تنتج آلة في مصنع مكونات معيبة باستقلالية باحتمال 0.04. في عينة عشوائية من 50 مكوناً، لتكن X عدد المكونات المعيبة، وتُفترض متبعة التوزيع ذي الحدين. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) حدد قيمتي n وp. (ب) احسب P(X = 2). (ج) احسب P(X ≤ 1). (د) احسب العدد المتوقع للمكونات المعيبة في العينة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 50 وp = 0.04.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد n = 50 وp = 0.04.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع ذي الحدين للحصول على P(X = 2) ≈ 0.276.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(X ≤ 1) ≈ 0.400 كمجموع P(X = 0) وP(X = 1).
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام E(X) = np للحصول على قيمة متوقعة تساوي 2.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   يُصنَّف استطلاع لأوقات الانتظار (بالدقائق) كالتالي: 10 (تكرار 4)، 20 (تكرار 8)، 30 (تكرار 10)، 40 (تكرار 5)، 50 (تكرار 3)، حيث كل قيمة هي منتصف فئتها. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية، احسب متوسط أوقات الانتظار وانحرافها المعياري.

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • إدخال نقاط المنتصف والتكرارات في دالة الإحصاء أحادي المتغير في الآلة الحاسبة.
   • الحصول على متوسط 28.3 دقيقة (3 أرقام معنوية).
   • الحصول على انحراف معياري 11.6 دقيقة (3 أرقام معنوية).

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة للبيانات المصنَّفة، تعامل الآلة الحاسبة كل نقطة منتصف كما لو كانت كل قيمة في تلك الفئة تساويها تماماً — وهذا تقريب للمتوسط والانحراف المعياري الحقيقيين.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُصنَّف استطلاع لأوقات الانتظار (بالدقائق) كالتالي: 10 (تكرار 4)، 20 (تكرار 8)، 30 (تكرار 10)، 40 (تكرار 5)، 50 (تكرار 3)، حيث كل قيمة هي منتصف فئتها. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية، احسب متوسط أوقات الانتظار وانحرافها المعياري.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إدخال نقاط المنتصف والتكرارات في دالة الإحصاء أحادي المتغير في الآلة الحاسبة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة]

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إدخال نقاط المنتصف والتكرارات في دالة الإحصاء أحادي المتغير في الآلة الحاسبة.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على متوسط 28.3 دقيقة (3 أرقام معنوية).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على انحراف معياري 11.6 دقيقة (3 أرقام معنوية).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   تُسرد القيم الإحدى عشرة التالية تصاعدياً: 12، 15، 18، 21، 23، 25، 27، 29، 33، 36، 40. أوجد الوسيط، والربيع الأدنى Q1، والربيع الأعلى Q3، والمدى الربيعي.

   [4 درجة]

   نقاط التصحيح

   • تحديد الوسيط بوصفه القيمة السادسة، 25.
   • تحديد Q1 بوصفه وسيط القيم الخمس الدنيا (12، 15، 18، 21، 23)، فيكون Q1 = 18.
   • تحديد Q3 بوصفه وسيط القيم الخمس العليا (27، 29، 33، 36، 40)، فيكون Q3 = 33.
   • حساب المدى الربيعي بـ Q3 − Q1 = 15.

   ملاحظة الفاحص: عندما تحتوي مجموعة البيانات على عدد فردي من القيم، استبعد الوسيط الكلي نفسه قبل التقسيم إلى نصفين أدنى وأعلى لإيجاد Q1 وQ3.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُسرد القيم الإحدى عشرة التالية تصاعدياً: 12، 15، 18، 21، 23، 25، 27، 29، 33، 36، 40. أوجد الوسيط، والربيع الأدنى Q1، والربيع الأعلى Q3، والمدى الربيعي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الوسيط بوصفه القيمة السادسة، 25.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الوسيط بوصفه القيمة السادسة، 25.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد Q1 بوصفه وسيط القيم الخمس الدنيا (12، 15، 18، 21، 23)، فيكون Q1 = 18.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد Q3 بوصفه وسيط القيم الخمس العليا (27، 29، 33، 36، 40)، فيكون Q3 = 33.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب المدى الربيعي بـ Q3 − Q1 = 15.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    يحتوي اختبار اختيار من متعدد على 15 سؤالاً، لكل منها 4 خيارات وإجابة صحيحة واحدة فقط. يُخمّن طالب عشوائياً في كل سؤال. لتكن X عدد التخمينات الصحيحة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب احتمال حصول الطالب على 5 إجابات صحيحة على الأقل.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد n = 15 وp = 0.25 (احتمال التخمين الصحيح في أي سؤال واحد).
    • استخدام P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4).
    • الحصول على P(X ≥ 5) ≈ 0.314.

    ملاحظة الفاحص: عادة ما تكون مسائل «على الأقل» أسهل باستخدام المتمم: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)، وتحسبها دالة التوزيع التراكمي ذي الحدين في الآلة الحاسبة مباشرة.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي اختبار اختيار من متعدد على 15 سؤالاً، لكل منها 4 خيارات وإجابة صحيحة واحدة فقط. يُخمّن طالب عشوائياً في كل سؤال. لتكن X عدد التخمينات الصحيحة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب احتمال حصول الطالب على 5 إجابات صحيحة على الأقل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 15 وp = 0.25 (احتمال التخمين الصحيح في أي سؤال واحد).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد n = 15 وp = 0.25 (احتمال التخمين الصحيح في أي سؤال واحد).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X ≥ 5) ≈ 0.314.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    تملأ آلة زجاجات بحجم يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 60 مل. من المعروف أن 85% من الزجاجات تحتوي أقل من 70 مل. أوجد الانحراف المعياري لحجم التعبئة، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي لإيجاد قيمة z المقابلة لاحتمال تراكمي 0.85، فيُحصل على z ≈ 1.0364.
    • إعداد معادلة التوحيد القياسي z = (70 − 60)/σ.
    • إعادة الترتيب لجعل σ موضوع المعادلة.
    • الحصول على σ ≈ 9.65 مل.

    ملاحظة الفاحص: عندما يكون الانحراف المعياري مجهولاً، أوجد قيمة z من الاحتمال المعطى أولاً، ثم حل صيغة التوحيد القياسي لـσ بدلاً من x.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تملأ آلة زجاجات بحجم يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 60 مل. من المعروف أن 85% من الزجاجات تحتوي أقل من 70 مل. أوجد الانحراف المعياري لحجم التعبئة، مقرَّباً لـ3 أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي لإيجاد قيمة z المقابلة لاحتمال تراكمي 0.85، فيُحصل على z ≈ 1.0364.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي لإيجاد قيمة z المقابلة لاحتمال تراكمي 0.85، فيُحصل على z ≈ 1.0364.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعداد معادلة التوحيد القياسي z = (70 − 60)/σ.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب لجعل σ موضوع المعادلة.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على σ ≈ 9.65 مل.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    يرتّب ستة حكّام ست لاعبات جمباز (من A إلى F) في مسابقة. الرتب التي يعطيها الحكم 1 والحكم 2 هي: الحكم 1: A=1، B=2، C=3، D=4، E=5، F=6. الحكم 2: A=2، B=1، C=4، D=3، E=6، F=5. احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين ترتيبي الحكمين، وفسّر قيمته.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • إيجاد الفرق d بين كل زوج من الرتب: 1، 1، 1، 1، 1، 1 (بالقيمة المطلقة).
    • حساب Σd² = 6.
    • استخدام الصيغة rs = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] بـ n = 6.
    • الحصول على rs ≈ 0.829، مع تفسير ذلك بأنه اتفاق إيجابي قوي نسبياً بين ترتيبي الحكمين.

    ملاحظة الفاحص: يقيس معامل سبيرمان الاتفاق في ترتيب الرتب، لا في القيم العددية الدقيقة — وهو الأداة الصحيحة عند توفر الرتب فقط دون الدرجات الخام.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يرتّب ستة حكّام ست لاعبات جمباز (من A إلى F) في مسابقة. الرتب التي يعطيها الحكم 1 والحكم 2 هي: الحكم 1: A=1، B=2، C=3، D=4، E=5، F=6. الحكم 2: A=2، B=1، C=4، D=3، E=6، F=5. احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان بين ترتيبي الحكمين، وفسّر قيمته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد الفرق d بين كل زوج من الرتب: 1، 1، 1، 1، 1، 1 (بالقيمة المطلقة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد الفرق d بين كل زوج من الرتب: 1، 1، 1، 1، 1، 1 (بالقيمة المطلقة).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب Σd² = 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام الصيغة rs = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] بـ n = 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على rs ≈ 0.829، مع تفسير ذلك بأنه اتفاق إيجابي قوي نسبياً بين ترتيبي الحكمين.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    يُرمى حجر نرد سداسي الأوجه 60 مرة، بتكرارات مشاهدة للأوجه من 1 إلى 6: 8، 12، 9، 11، 10، 10. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان النرد عادلاً. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) بمعلومية قيمة حرجة تساوي 11.07، اذكر استنتاجك.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: النرد عادل (احتمال كل وجه 1/6).
    • تحديد التكرار المتوقع لكل وجه بـ 60 ÷ 6 = 10.
    • استخدام χ² = Σ(O − E)²/E عبر الأوجه الستة جميعها.
    • الحصول على χ² = 1.00.
    • توضيح أنه بما أن 1.00 أقل من القيمة الحرجة 11.07، لا تُرفض H0، فلا يوجد دليل على أن النرد غير عادل.

    ملاحظة الفاحص: يقارن اختبار حسن المطابقة البيانات المشاهدة بتوزيع نظري واحد، بخلاف اختبار الاستقلالية الذي يقارن متغيرين تصنيفيين ببعضهما.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُرمى حجر نرد سداسي الأوجه 60 مرة، بتكرارات مشاهدة للأوجه من 1 إلى 6: 8، 12، 9، 11، 10، 10. اختبر، عند مستوى دلالة 5%، ما إذا كان النرد عادلاً. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) بمعلومية قيمة حرجة تساوي 11.07، اذكر استنتاجك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: النرد عادل (احتمال كل وجه 1/6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: النرد عادل (احتمال كل وجه 1/6).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد التكرار المتوقع لكل وجه بـ 60 ÷ 6 = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام χ² = Σ(O − E)²/E عبر الأوجه الستة جميعها.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على χ² = 1.00.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه بما أن 1.00 أقل من القيمة الحرجة 11.07، لا تُرفض H0، فلا يوجد دليل على أن النرد غير عادل.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    متغير عشوائي منفصل X له توزيع احتمالي: P(X=0) = 0.1، وP(X=1) = 0.3، وP(X=2) = 0.4، وP(X=3) = 0.2. احسب E(X) وVar(X).

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • التأكد من أن الاحتمالات مجموعها 1.
    • استخدام E(X) = Σx·P(X=x) للحصول على E(X) = 1.7.
    • استخدام E(X²) = Σx²·P(X=x) للحصول على E(X²) = 3.7.
    • استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على Var(X) = 0.81.

    ملاحظة الفاحص: احسب دائماً E(X²) كخطوة منفصلة قبل إيجاد التباين — لا تربّع E(X) وتعتبرها E(X²).

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متغير عشوائي منفصل X له توزيع احتمالي: P(X=0) = 0.1، وP(X=1) = 0.3، وP(X=2) = 0.4، وP(X=3) = 0.2. احسب E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التأكد من أن الاحتمالات مجموعها 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التأكد من أن الاحتمالات مجموعها 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام E(X) = Σx·P(X=x) للحصول على E(X) = 1.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام E(X²) = Σx²·P(X=x) للحصول على E(X²) = 3.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على Var(X) = 0.81.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    في مدرسة 120 طالباً في الصف 10، و180 في الصف 11، و300 في الصف 12. سيُختار عيّنة طبقية من 50 طالباً، بالتناسب مع حجم كل صف. احسب عدد الطلاب الذين ينبغي اختيارهم من كل صف.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد إجمالي عدد السكان بـ 120 + 180 + 300 = 600.
    • حساب عيّنة الصف 10 بـ (120/600) × 50 = 10.
    • حساب عيّنة الصف 11 بـ (180/600) × 50 = 15.
    • حساب عيّنة الصف 12 بـ (300/600) × 50 = 25، والتأكد من أن العينات الثلاث مجموعها 50.

    ملاحظة الفاحص: تحافظ المعاينة الطبقية على حصة كل مجموعة من العينة الكاملة متناسبة مع حصتها من إجمالي السكان.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في مدرسة 120 طالباً في الصف 10، و180 في الصف 11، و300 في الصف 12. سيُختار عيّنة طبقية من 50 طالباً، بالتناسب مع حجم كل صف. احسب عدد الطلاب الذين ينبغي اختيارهم من كل صف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد إجمالي عدد السكان بـ 120 + 180 + 300 = 600.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد إجمالي عدد السكان بـ 120 + 180 + 300 = 600.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب عيّنة الصف 10 بـ (120/600) × 50 = 10.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب عيّنة الصف 11 بـ (180/600) × 50 = 15.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب عيّنة الصف 12 بـ (300/600) × 50 = 25، والتأكد من أن العينات الثلاث مجموعها 50.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    يؤدي صفان الاختبار نفسه. متوسط درجات الصف A هو 68 بانحراف معياري 5. ومتوسط درجات الصف B هو 68 بانحراف معياري 14. اشرح ما يخبرك به الفرق في الانحراف المعياري عن نتائج الصفين، رغم تساوي متوسطيهما.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • يشرح أن درجات الصف A أكثر تجمعاً حول المتوسط 68، بينما درجات الصف B أكثر تشتتاً بكثير.
    • يوضح أنه رغم تساوي المتوسط، لدى الصف B تفاوت أكبر بكثير بين أداء الطلاب الأفراد.

    ملاحظة الفاحص: يمكن لمجموعتي بيانات تشاركان المتوسط نفسه أن تحملا قصتين مختلفتين جداً — فالانحراف المعياري أساسي لمقارنة مدى اتساق النتائج أو تشتتها فعلياً.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يؤدي صفان الاختبار نفسه. متوسط درجات الصف A هو 68 بانحراف معياري 5. ومتوسط درجات الصف B هو 68 بانحراف معياري 14. اشرح ما يخبرك به الفرق في الانحراف المعياري عن نتائج الصفين، رغم تساوي متوسطيهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يشرح أن درجات الصف A أكثر تجمعاً حول المتوسط 68، بينما درجات الصف B أكثر تشتتاً بكثير.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يشرح أن درجات الصف A أكثر تجمعاً حول المتوسط 68، بينما درجات الصف B أكثر تشتتاً بكثير.
    • يحدد المتطلب الناقص: يوضح أنه رغم تساوي المتوسط، لدى الصف B تفاوت أكبر بكثير بين أداء الطلاب الأفراد.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    يسجّل عالم نمو نبتة، x يوماً بعد الزراعة، وارتفاعها y سم: (2,5)، (4,9)، (6,13)، (8,16)، (10,21)، (12,24). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة r وفسّر قوة الارتباط. (ج) استخدم معادلتك لتقدير الارتفاع عند x = 7 أيام.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 1.91x + 1.27 (يُقبل التقريب المكافئ).
    • تحديد r ≈ 0.998.
    • تفسير ذلك بأنه ارتباط خطي موجب قوي جداً.
    • تعويض x = 7 لتقدير y ≈ 14.7 سم.

    ملاحظة الفاحص: بما أن x = 7 تقع ضمن مدى البيانات المسجلة (2 إلى 12)، فهذا التقدير استيفاء، وهو أكثر موثوقية عموماً من الاستقراء.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل عالم نمو نبتة، x يوماً بعد الزراعة، وارتفاعها y سم: (2,5)، (4,9)، (6,13)، (8,16)، (10,21)، (12,24). باستخدام الآلة الحاسبة البيانية: (أ) أوجد معادلة خط الانحدار الخطي لـ y على x. (ب) اذكر قيمة r وفسّر قوة الارتباط. (ج) استخدم معادلتك لتقدير الارتفاع عند x = 7 أيام.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 1.91x + 1.27 (يُقبل التقريب المكافئ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام أداة الانحدار في الآلة الحاسبة للحصول على y ≈ 1.91x + 1.27 (يُقبل التقريب المكافئ).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد r ≈ 0.998.
    • يحدد المتطلب الناقص: تفسير ذلك بأنه ارتباط خطي موجب قوي جداً.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 7 لتقدير y ≈ 14.7 سم.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    يحتوي صندوق كبير من المكونات على 40% عناصر معيبة. تُؤخذ عينة عشوائية من 40 مكوناً، وX عدد المكونات المعيبة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب متوسط X وتباينه.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد n = 40 وp = 0.4.
    • استخدام E(X) = np للحصول على متوسط 16.
    • استخدام Var(X) = np(1 − p) للحصول على تباين 9.6.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة للتوزيع ذي الحدين، يمتلك المتوسط والتباين صيغتين مباشرتين بدلالة n وp — فلا حاجة لسرد كل النتائج.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي صندوق كبير من المكونات على 40% عناصر معيبة. تُؤخذ عينة عشوائية من 40 مكوناً، وX عدد المكونات المعيبة، وتتبع التوزيع ذي الحدين. احسب متوسط X وتباينه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد n = 40 وp = 0.4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد n = 40 وp = 0.4.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام E(X) = np للحصول على متوسط 16.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Var(X) = np(1 − p) للحصول على تباين 9.6.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    يتبع عمر نوع معين من المصابيح التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 ساعة وانحراف معياري 20 ساعة. (أ) احسب احتمال أن يدوم مصباح مختار عشوائياً بين 480 و530 ساعة. (ب) أوجد العمر x بحيث تدوم 20% فقط من المصابيح أطول من x ساعة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 وانحراف معياري 20.
    • الحصول على P(480 < X < 530) ≈ 0.775.
    • إدراك أن P(X > x) = 0.2 تكافئ P(X < x) = 0.8 لدالة معكوس التوزيع الطبيعي.
    • استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على x ≈ 516.83 ساعة.

    ملاحظة الفاحص: تتوقع دالة معكوس التوزيع الطبيعي في الآلة الحاسبة دائماً المساحة إلى اليسار — حوّل احتمال «على الأقل» أو «أكثر من» إلى متممه قبل استخدامها.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتبع عمر نوع معين من المصابيح التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 ساعة وانحراف معياري 20 ساعة. (أ) احسب احتمال أن يدوم مصباح مختار عشوائياً بين 480 و530 ساعة. (ب) أوجد العمر x بحيث تدوم 20% فقط من المصابيح أطول من x ساعة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 وانحراف معياري 20.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام التوزيع الطبيعي بمتوسط 500 وانحراف معياري 20.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(480 < X < 530) ≈ 0.775.
    • يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن P(X > x) = 0.2 تكافئ P(X < x) = 0.8 لدالة معكوس التوزيع الطبيعي.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام دالة معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على x ≈ 516.83 ساعة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    يسجّل استطلاع حالة التدخين (مدخن/غير مدخن) عبر ثلاث فئات عمرية، بتكرارات مشاهدة: الفئة العمرية 1: 30 مدخناً، 20 غير مدخن. الفئة العمرية 2: 25 مدخناً، 35 غير مدخن. الفئة العمرية 3: 15 مدخناً، 25 غير مدخن. اختبر، عند مستوى دلالة 5% بقيمة حرجة 5.991، ما إذا كانت حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) اذكر استنتاجك.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • تحديد H0: حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية.
    • حساب مجاميع الصفوف (50، 60، 40)، ومجاميع الأعمدة (70، 80)، ومجموع كلي 150.
    • حساب كل تكرار متوقع بـ (مجموع الصف × مجموع العمود) ÷ المجموع الكلي.
    • استخدام χ² = Σ(O − E)²/E عبر الخلايا الستة جميعها.
    • الحصول على χ² ≈ 5.52.
    • توضيح أنه بما أن 5.52 أقل من القيمة الحرجة 5.991، لا تُرفض H0، فلا يوجد دليل كافٍ على ارتباط بين حالة التدخين والفئة العمرية.

    ملاحظة الفاحص: احسب كل تكرار متوقع بعناية قبل حساب كاي تربيع؛ فخطأ حسابي واحد في جدول المتوقع يغيّر النتيجة بأكملها.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يسجّل استطلاع حالة التدخين (مدخن/غير مدخن) عبر ثلاث فئات عمرية، بتكرارات مشاهدة: الفئة العمرية 1: 30 مدخناً، 20 غير مدخن. الفئة العمرية 2: 25 مدخناً، 35 غير مدخن. الفئة العمرية 3: 15 مدخناً، 25 غير مدخن. اختبر، عند مستوى دلالة 5% بقيمة حرجة 5.991، ما إذا كانت حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية. (أ) اذكر الفرضية الصفرية. (ب) احسب إحصائية اختبار كاي تربيع. (ج) اذكر استنتاجك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد H0: حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد H0: حالة التدخين مستقلة عن الفئة العمرية.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب مجاميع الصفوف (50، 60، 40)، ومجاميع الأعمدة (70، 80)، ومجموع كلي 150.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب كل تكرار متوقع بـ (مجموع الصف × مجموع العمود) ÷ المجموع الكلي.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام χ² = Σ(O − E)²/E عبر الخلايا الستة جميعها.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على χ² ≈ 5.52.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه بما أن 5.52 أقل من القيمة الحرجة 5.991، لا تُرفض H0، فلا يوجد دليل كافٍ على ارتباط بين حالة التدخين والفئة العمرية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.