الرياضيات

1. 1.

   مثلث قائم الزاوية طول وتره 13 cm وطول أحد ضلعيه الآخرين 5 cm. احسب طول الضلع الثالث.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام فيثاغورس: مربع الضلع الثالث = 13² − 5². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مربع الضلع الثالث = 144. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد طول الضلع الثالث بـ 12 cm. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الوتر هو أطول ضلع، لذلك يكون مربعه هو المجموع الأساسي.

   نقاط التصحيح

   • استخدام فيثاغورس: مربع الضلع الثالث = 13² − 5².
   • الحصول على مربع الضلع الثالث = 144.
   • تحديد طول الضلع الثالث بـ 12 cm.

   ملاحظة الفاحص: الوتر هو أطول ضلع، لذلك يكون مربعه هو المجموع الأساسي.

2. 2.

   أسطوانة مغلقة نصف قطرها 3.0 cm وارتفاعها 8.0 cm. احسب مساحة سطحها الكلية بدلالة π وكعدد عشري لثلاثة أرقام معنوية.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المساحة الكلية = 2πr² + 2πrh. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض r = 3 وh = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 66π cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 207 cm² لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: للأسطوانة المغلقة قاعدتان دائريتان.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المساحة الكلية = 2πr² + 2πrh.
   • تعويض r = 3 وh = 8.
   • الحصول على 66π cm².
   • الحصول على 207 cm² لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: للأسطوانة المغلقة قاعدتان دائريتان.

3. 3.

   قطاع دائري نصف قطره 8 cm وزاويته 45°. احسب مساحة القطاع.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المساحة = (الزاوية/360) × πr². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض (45/360) × π × 8². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 25.1 cm² لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ينطبق كسر الدائرة (الزاوية/360) بالتساوي على صيغتي مساحة القطاع وطول القوس.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المساحة = (الزاوية/360) × πr².
   • تعويض (45/360) × π × 8².
   • الحصول على 25.1 cm² لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: ينطبق كسر الدائرة (الزاوية/360) بالتساوي على صيغتي مساحة القطاع وطول القوس.

4. 4.

   لمثلثين متشابهين أضلاع متناظرة بنسبة 2:5. مساحة المثلث الأصغر 12 cm². احسب مساحة المثلث الأكبر.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن نسبة المساحات هي مربع نسبة الأطوال: 2² : 5² = 4 : 25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 12/4 = المساحة/25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مساحة = 75 cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تُطبّق أبداً معامل التحجيم الخطي مباشرة على المساحة أو الحجم — ربّعه للمساحة، وكعّبه للحجم.

   نقاط التصحيح

   • توضيح أن نسبة المساحات هي مربع نسبة الأطوال: 2² : 5² = 4 : 25.
   • وضع 12/4 = المساحة/25.
   • الحصول على مساحة = 75 cm².

   ملاحظة الفاحص: لا تُطبّق أبداً معامل التحجيم الخطي مباشرة على المساحة أو الحجم — ربّعه للمساحة، وكعّبه للحجم.

5. 5.

   من نقطة تبعد 40 m عن قاعدة برج، زاوية الارتفاع إلى قمة البرج 32°. احسب ارتفاع البرج.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المثلث القائم مع ضلع 40 m مجاوراً للزاوية 32°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الارتفاع = 40 × tan(32°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على ارتفاع = 25.0 m لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ارسم المثلث القائم أولاً وسمِّ زاوية الارتفاع والضلع المعروف والضلع المطلوب قبل اختيار النسبة المثلثية المناسبة.

   نقاط التصحيح

   • تحديد المثلث القائم مع ضلع 40 m مجاوراً للزاوية 32°.
   • استخدام الارتفاع = 40 × tan(32°).
   • الحصول على ارتفاع = 25.0 m لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: ارسم المثلث القائم أولاً وسمِّ زاوية الارتفاع والضلع المعروف والضلع المطلوب قبل اختيار النسبة المثلثية المناسبة.

6. 6.

   مخروط نصف قطر قاعدته 6 cm وارتفاعه المائل 10 cm. احسب مساحة سطحه الجانبي باستخدام الصيغة πrl.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المساحة الجانبية = πrl. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض π × 6 × 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 188.5 cm² لأربعة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تخلط بين الارتفاع المائل (l) والارتفاع الرأسي (العمودي) للمخروط — تستخدم صيغة المساحة الجانبية الارتفاع المائل.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المساحة الجانبية = πrl.
   • تعويض π × 6 × 10.
   • الحصول على 188.5 cm² لأربعة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: لا تخلط بين الارتفاع المائل (l) والارتفاع الرأسي (العمودي) للمخروط — تستخدم صيغة المساحة الجانبية الارتفاع المائل.

7. 7.

   احسب الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية لمضلع منتظم عشاري الأضلاع (10 أضلاع).

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الزاوية الخارجية = 360 ÷ عدد الأضلاع = 360 ÷ 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على زاوية خارجية = 36°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الزاوية الداخلية = 180 − الزاوية الخارجية للحصول على 144°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي 360° دائماً، بغض النظر عن عدد الأضلاع.

   نقاط التصحيح

   • استخدام الزاوية الخارجية = 360 ÷ عدد الأضلاع = 360 ÷ 10.
   • الحصول على زاوية خارجية = 36°.
   • استخدام الزاوية الداخلية = 180 − الزاوية الخارجية للحصول على 144°.

   ملاحظة الفاحص: مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يساوي 360° دائماً، بغض النظر عن عدد الأضلاع.

8. 8.

   لمثلث ضلعان 7 cm و9 cm والزاوية المحصورة بينهما 60°. احسب مساحة المثلث باستخدام الصيغة (1/2)ab sin C.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المساحة = (1/2) × 7 × 9 × sin(60°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض sin(60°) ≈ 0.866. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مساحة = 27.3 cm² لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب صيغة المساحة هذه ضلعين والزاوية المحصورة بينهما مباشرة — وليس أي ضلعين وأي زاوية.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المساحة = (1/2) × 7 × 9 × sin(60°).
   • تعويض sin(60°) ≈ 0.866.
   • الحصول على مساحة = 27.3 cm² لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: تتطلب صيغة المساحة هذه ضلعين والزاوية المحصورة بينهما مباشرة — وليس أي ضلعين وأي زاوية.

9. 9.

   يستند سلّم طوله 6.5 m إلى حائط رأسي، فيصل إلى ارتفاع 6.0 m على الحائط. احسب الزاوية التي يصنعها السلم مع الأرض.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المثلث القائم بوتر 6.5 m وضلع مقابل 6.0 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام sin(الزاوية) = 6.0/6.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على زاوية = 67.4° لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: حدد الأضلاع المعروفة بالنسبة إلى الزاوية المطلوبة (المقابل، المجاور، الوتر) قبل اختيار sin أو cos أو tan.

   نقاط التصحيح

   • تحديد المثلث القائم بوتر 6.5 m وضلع مقابل 6.0 m.
   • استخدام sin(الزاوية) = 6.0/6.5.
   • الحصول على زاوية = 67.4° لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: حدد الأضلاع المعروفة بالنسبة إلى الزاوية المطلوبة (المقابل، المجاور، الوتر) قبل اختيار sin أو cos أو tan.

10. 10.

    هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 6 cm وارتفاعه الرأسي 8 cm. احسب حجمه.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الحجم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب مساحة القاعدة = 6² = 36 cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على حجم = (1/3) × 36 × 8 = 96 cm³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ينطبق معامل 1/3 على أي صيغة حجم هرم أو مخروط، بغض النظر عن شكل القاعدة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام الحجم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع.
    • حساب مساحة القاعدة = 6² = 36 cm².
    • الحصول على حجم = (1/3) × 36 × 8 = 96 cm³.

    ملاحظة الفاحص: ينطبق معامل 1/3 على أي صيغة حجم هرم أو مخروط، بغض النظر عن شكل القاعدة.

11. 11.

    AB قطر دائرة، وC نقطة على المحيط. الزاوية ABC = 35°. احسب الزاوية ACB والزاوية BAC، مع ذكر السبب الهندسي للزاوية ACB.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الزاوية ACB = 90°، لأن الزاوية المحاطة بقطر (في نصف دائرة) قائمة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الزاوية BAC = 180 − 90 − 35. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الزاوية BAC = 55°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: كلما رُسم مثلث باستخدام قطر دائرة كأحد أضلاعه، تكون الزاوية عند النقطة الثالثة على الدائرة قائمة تلقائياً.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الزاوية ACB = 90°، لأن الزاوية المحاطة بقطر (في نصف دائرة) قائمة.
    • توضيح أن مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180°.
    • حساب الزاوية BAC = 180 − 90 − 35.
    • تحديد الزاوية BAC = 55°.

    ملاحظة الفاحص: كلما رُسم مثلث باستخدام قطر دائرة كأحد أضلاعه، تكون الزاوية عند النقطة الثالثة على الدائرة قائمة تلقائياً.

12. 12.

    خطان متوازيان يقطعهما خط عرضي. إحدى الزوايا الناتجة تساوي 118°. باستخدام خصائص زوايا الخطوط المتوازية، أوجد (أ) الزاوية المتبادلة و(ب) الزاوية المتحالفة (الداخلية على نفس الجانب)، مع ذكر السبب لكل منهما.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الزاوية المتبادلة = 118°، لأن الزوايا المتبادلة بين خطوط متوازية متساوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الزوايا المتحالفة بين خطوط متوازية مجموعها 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الزاوية المتحالفة = 180 − 118 = 62°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُشكّل الزوايا المتبادلة حرف 'Z' وتكون متساوية؛ وتُشكّل الزوايا المتحالفة حرف 'C' ومجموعها 180° — رسم الخط العرضي يساعد على تحديد النمط المناسب.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الزاوية المتبادلة = 118°، لأن الزوايا المتبادلة بين خطوط متوازية متساوية.
    • توضيح أن الزوايا المتحالفة بين خطوط متوازية مجموعها 180°.
    • حساب الزاوية المتحالفة = 180 − 118 = 62°.

    ملاحظة الفاحص: تُشكّل الزوايا المتبادلة حرف 'Z' وتكون متساوية؛ وتُشكّل الزوايا المتحالفة حرف 'C' ومجموعها 180° — رسم الخط العرضي يساعد على تحديد النمط المناسب.

13. 13.

    اتجاه النقطة B من النقطة A هو 072°. أوجد اتجاه A من B.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن الاتجاه المعاكس يُوجد بإضافة 180° عندما يكون الاتجاه الأصلي أقل من 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب 072° + 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد اتجاه A من B بأنه 252°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أضف 180° لاتجاه أصلي أقل من 180°، أو اطرح 180° لاتجاه يساوي 180° أو أكثر — يجب أن تبقى النتيجة دائماً بين 000° و360°.

    نقاط التصحيح

    • إدراك أن الاتجاه المعاكس يُوجد بإضافة 180° عندما يكون الاتجاه الأصلي أقل من 180°.
    • حساب 072° + 180°.
    • تحديد اتجاه A من B بأنه 252°.

    ملاحظة الفاحص: أضف 180° لاتجاه أصلي أقل من 180°، أو اطرح 180° لاتجاه يساوي 180° أو أكثر — يجب أن تبقى النتيجة دائماً بين 000° و360°.

14. 14.

    متوازي مستطيلات أبعاده 6 cm و8 cm و10 cm. احسب طول القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد: مربع القطر = مربع الطول + مربع العرض + مربع الارتفاع. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 6² + 8² + 10². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مربع القطر = 200. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد القطر بأنه √200 ≈ 14.1 cm. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُوسّع القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات نظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد بجمع مربعات الأضلاع الثلاثة جميعها قبل أخذ الجذر التربيعي.

    نقاط التصحيح

    • استخدام نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد: مربع القطر = مربع الطول + مربع العرض + مربع الارتفاع.
    • تعويض 6² + 8² + 10².
    • الحصول على مربع القطر = 200.
    • تحديد القطر بأنه √200 ≈ 14.1 cm.

    ملاحظة الفاحص: يُوسّع القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات نظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد بجمع مربعات الأضلاع الثلاثة جميعها قبل أخذ الجذر التربيعي.

15. 15.

    احسب حجم كرة نصف قطرها 6 cm، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية. (V = (4/3)πr³)

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة V = (4/3)πr³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض r = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب V = 288π. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد V ≈ 905 cm³ لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: كعّب نصف القطر قبل الضرب بالثوابت — من الأخطاء الشائعة الضرب في 3 بدلاً من التكعيب.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الصيغة V = (4/3)πr³.
    • تعويض r = 6.
    • حساب V = 288π.
    • تحديد V ≈ 905 cm³ لثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: كعّب نصف القطر قبل الضرب بالثوابت — من الأخطاء الشائعة الضرب في 3 بدلاً من التكعيب.

16. 16.

    احسب المساحة السطحية لكرة نصف قطرها 6 cm، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية. (A = 4πr²)

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض r = 6 في A = 4πr² = 4π(6²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب A = 144π. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد A ≈ 452 cm² لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ربّع نصف القطر، وليس القطر، عند استخدام هذه الصيغة مباشرة.

    نقاط التصحيح

    • تعويض r = 6 في A = 4πr² = 4π(6²).
    • حساب A = 144π.
    • تحديد A ≈ 452 cm² لثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: ربّع نصف القطر، وليس القطر، عند استخدام هذه الصيغة مباشرة.

17. 17.

    لمجسمين متشابهين أطوال متناظرة بنسبة 3 : 4. حجم المجسم الأصغر 54 cm³. احسب حجم المجسم الأكبر.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن نسبة الحجوم هي مكعب نسبة الأطوال: 3³ : 4³ = 27 : 64. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 54/27 = الحجم/64. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد حجم المجسم الأكبر بأنه 128 cm³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تُطبّق أبداً معامل التحجيم الخطي مباشرة على الحجم — كعّبه أولاً، تماماً كما تربّعه للمساحة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن نسبة الحجوم هي مكعب نسبة الأطوال: 3³ : 4³ = 27 : 64.
    • وضع 54/27 = الحجم/64.
    • تحديد حجم المجسم الأكبر بأنه 128 cm³.

    ملاحظة الفاحص: لا تُطبّق أبداً معامل التحجيم الخطي مباشرة على الحجم — كعّبه أولاً، تماماً كما تربّعه للمساحة.

18. 18.

    قطاع دائري نصف قطره 10 cm وزاويته 72°. احسب طول قوس القطاع، مع كتابة الإجابة بدلالة π.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام طول القوس = (الزاوية/360) × 2πr. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض (72/360) × 2π × 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد طول القوس بأنه 4π cm. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُقلِّص الكسر (الزاوية/360) المحيط الكامل 2πr إلى القوس فقط، بالطريقة نفسها التي يُقلِّص بها المساحة الكاملة إلى قطاع.

    نقاط التصحيح

    • استخدام طول القوس = (الزاوية/360) × 2πr.
    • تعويض (72/360) × 2π × 10.
    • تحديد طول القوس بأنه 4π cm.

    ملاحظة الفاحص: يُقلِّص الكسر (الزاوية/360) المحيط الكامل 2πr إلى القوس فقط، بالطريقة نفسها التي يُقلِّص بها المساحة الكاملة إلى قطاع.

19. 19.

    يتكون شكل من مستطيل أبعاده 10 cm و6 cm مع نصف دائرة قطرها 6 cm ملتصق بأحد ضلعيه الأقصر. احسب المساحة الكلية للشكل، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب مساحة المستطيل 10 × 6 = 60 cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نصف قطر نصف الدائرة بـ 3 cm (نصف القطر 6 cm). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب مساحة نصف الدائرة (1/2)π(3²) = 4.5π cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المساحة الكلية 60 + 4.5π ≈ 74.1 cm² لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: قسّم الشكل المركب إلى أشكال بسيطة تعرف صيغها، أوجد مساحة كل منها منفصلة، ثم اجمعها (أو اطرحها لجزء مقتطع).

    نقاط التصحيح

    • حساب مساحة المستطيل 10 × 6 = 60 cm².
    • تحديد نصف قطر نصف الدائرة بـ 3 cm (نصف القطر 6 cm).
    • حساب مساحة نصف الدائرة (1/2)π(3²) = 4.5π cm².
    • تحديد المساحة الكلية 60 + 4.5π ≈ 74.1 cm² لثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: قسّم الشكل المركب إلى أشكال بسيطة تعرف صيغها، أوجد مساحة كل منها منفصلة، ثم اجمعها (أو اطرحها لجزء مقتطع).

20. 20.

    في المثلث ABC، AB = 8 cm وBC = 10 cm وCA = 6 cm. احسب قياس الزاوية B باستخدام قانون جيب التمام.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة قانون جيب التمام مُعاد ترتيبه لزاوية: cos B = (AB² + BC² − CA²)/(2 × AB × BC). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على cos B = (64 + 100 − 36)/160. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب cos B = 0.8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الزاوية B ≈ 36.9° لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لإيجاد زاوية، استخدم الضلعين المجاورين لها والضلع المقابل لها — يحتاج قانون جيب التمام المُعاد ترتيبه دائماً إلى هذه الأطوال الثلاثة بالضبط.

    نقاط التصحيح

    • كتابة قانون جيب التمام مُعاد ترتيبه لزاوية: cos B = (AB² + BC² − CA²)/(2 × AB × BC).
    • التعويض للحصول على cos B = (64 + 100 − 36)/160.
    • حساب cos B = 0.8.
    • تحديد الزاوية B ≈ 36.9° لثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: لإيجاد زاوية، استخدم الضلعين المجاورين لها والضلع المقابل لها — يحتاج قانون جيب التمام المُعاد ترتيبه دائماً إلى هذه الأطوال الثلاثة بالضبط.

21. 21.

    احسب مجموع الزوايا الداخلية لمضلع منتظم ذي 12 ضلعاً.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة: مجموع الزوايا الداخلية = (n − 2) × 180°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المجموع 1800°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعمل هذه الصيغة بتقسيم المضلع إلى (n − 2) مثلثات من رأس واحد، يسهم كل منها بـ 180°.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الصيغة: مجموع الزوايا الداخلية = (n − 2) × 180°.
    • تعويض n = 12.
    • تحديد المجموع 1800°.

    ملاحظة الفاحص: تعمل هذه الصيغة بتقسيم المضلع إلى (n − 2) مثلثات من رأس واحد، يسهم كل منها بـ 180°.

22. 22.

    لشبه منحرف ضلعان متوازيان طولاهما 7 cm و11 cm، وارتفاع عمودي بينهما 5 cm. احسب مساحته.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة: المساحة = (1/2)(a + b)h، حيث a وb الضلعان المتوازيان. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض (1/2)(7 + 11)(5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المساحة 45 cm². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الارتفاع في شبه المنحرف هو دائماً المسافة العمودية بين الضلعين المتوازيين، وليس طول ضلع مائل.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الصيغة: المساحة = (1/2)(a + b)h، حيث a وb الضلعان المتوازيان.
    • تعويض (1/2)(7 + 11)(5).
    • تحديد المساحة 45 cm².

    ملاحظة الفاحص: الارتفاع في شبه المنحرف هو دائماً المسافة العمودية بين الضلعين المتوازيين، وليس طول ضلع مائل.

23. 23.

    خزان ماء أسطواني نصف قطره 0.5 m وارتفاعه 1.2 m. احسب سعة الخزان باللترات. (1 m³ = 1000 لتر)

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة V = πr²h. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض r = 0.5، h = 1.2 للحصول على V = π(0.5²)(1.2) = 0.3π m³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحويل إلى لترات بالضرب في 1000. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد السعة بأنها نحو 942 لتراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: احسب الحجم بالمتر المكعب أولاً، ثم حوّل إلى لترات في النهاية — يحمل تحويل نصف القطر أو الارتفاع إلى وحدات مختلفة في المنتصف خطر الخطأ.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الصيغة V = πr²h.
    • تعويض r = 0.5، h = 1.2 للحصول على V = π(0.5²)(1.2) = 0.3π m³.
    • التحويل إلى لترات بالضرب في 1000.
    • تحديد السعة بأنها نحو 942 لتراً.

    ملاحظة الفاحص: احسب الحجم بالمتر المكعب أولاً، ثم حوّل إلى لترات في النهاية — يحمل تحويل نصف القطر أو الارتفاع إلى وحدات مختلفة في المنتصف خطر الخطأ.

24. 24.

    من قمة جرف ارتفاعه 45 m، زاوية الانخفاض إلى قارب في البحر تساوي 20°. احسب المسافة الأفقية من قاعدة الجرف إلى القارب.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن زاوية الانخفاض من الجرف تساوي زاوية الارتفاع من القارب (زوايا متبادلة بين خطين أفقيين متوازيين)، ما يعطي مثلثاً قائماً ضلعه المقابل 45 m وزاويته المطلوبة 20°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام tan(20°) = 45/d، حيث d المسافة الأفقية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب d = 45/tan(20°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد d ≈ 124 m لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُقاس زاوية الانخفاض دائماً من الأفقي، وتساوي زاوية الارتفاع المرئية من الجسم المُشاهَد — ارسم الخط الأفقي عند قمة الجرف لترى علاقة الزوايا المتبادلة هذه بوضوح.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن زاوية الانخفاض من الجرف تساوي زاوية الارتفاع من القارب (زوايا متبادلة بين خطين أفقيين متوازيين)، ما يعطي مثلثاً قائماً ضلعه المقابل 45 m وزاويته المطلوبة 20°.
    • استخدام tan(20°) = 45/d، حيث d المسافة الأفقية.
    • إعادة الترتيب d = 45/tan(20°).
    • تحديد d ≈ 124 m لثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: تُقاس زاوية الانخفاض دائماً من الأفقي، وتساوي زاوية الارتفاع المرئية من الجسم المُشاهَد — ارسم الخط الأفقي عند قمة الجرف لترى علاقة الزوايا المتبادلة هذه بوضوح.

25. 25.

    لشكلين متشابهين مساحتان 50 cm² و200 cm². محيط الشكل الأصغر 20 cm. احسب محيط الشكل الأكبر.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نسبة المساحتين 50 : 200 = 1 : 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن نسبة الأطوال (والمحيط) هي الجذر التربيعي لنسبة المساحتين: √1 : √4 = 1 : 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد محيط الشكل الأكبر 20 × 2 = 40 cm. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتطلب الانتقال من نسبة المساحات إلى نسبة الأطوال جذراً تربيعياً — عكس تربيع نسبة الأطوال للحصول على نسبة المساحات.

    نقاط التصحيح

    • تحديد نسبة المساحتين 50 : 200 = 1 : 4.
    • توضيح أن نسبة الأطوال (والمحيط) هي الجذر التربيعي لنسبة المساحتين: √1 : √4 = 1 : 2.
    • تحديد محيط الشكل الأكبر 20 × 2 = 40 cm.

    ملاحظة الفاحص: يتطلب الانتقال من نسبة المساحات إلى نسبة الأطوال جذراً تربيعياً — عكس تربيع نسبة الأطوال للحصول على نسبة المساحات.

26. 26.

    مثلث قائم ضلعاه المتعامدان 9 cm و12 cm. أوجد وتره ومساحته.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يلتقي الضلعان المعطيان بزاوية قائمة، لذا هما ضلعا فيثاغورس وقاعدة وارتفاع صالحان.
    2. خذ الجذر الموجب للطول؛ واحسب المساحة منفصلة بنصف حاصل ضرب الضلعين المتعامدين.

    نقاط التصحيح

    • مربع الوتر = 9^2 + 12^2 = 225.
    • الوتر = 15 cm.
    • المساحة = (1/2)(9)(12) = 54 cm^2.

    ملاحظة الفاحص: وحدة الأطوال cm ووحدة المساحة cm^2.

27. 27.

    مساحتا شكلين متشابهين 36 cm^2 و81 cm^2. محيط الأصغر 20 cm. أوجد معامل التكبير الطولي من الأصغر إلى الأكبر ومحيط الأكبر.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يضرب التكبير طولين مستقلين في المساحة، لذا معامل المساحة مربع المعامل الطولي.
    2. خذ الجذر قبل تغيير المحيط؛ والمعامل الناتج أكبر من واحد كما يلزم للشكل الأكبر.

    نقاط التصحيح

    • معامل المساحة = 81/36 = 9/4.
    • المعامل الطولي = sqrt(9/4) = 3/2.
    • يتغير المحيط بالمعامل الطولي، لذا اضرب 20 في 3/2.
    • محيط الأكبر = 30 cm.

    ملاحظة الفاحص: لا تضرب المحيط مباشرة في نسبة المساحتين.

28. 28.

    من O يسير شخص 8 km شرقاً ثم 6 km شمالاً إلى P. احسب OP والاتجاه من O إلى P بصيغة ثلاثة أرقام إلى أقرب درجة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. تشكل الإزاحة مثلثاً قائماً تقع مركبته الشرقية مقابل الزاوية المقاسة من الشمال.
    2. الزاوية من الشرق متممة لها وليست الاتجاه المطلوب. قرّب بعد حساب الظل العكسي.

    نقاط التصحيح

    • OP = sqrt(8^2 + 6^2) = 10 km.
    • قس مع عقارب الساعة من الشمال؛ tan(theta) = 8/6.
    • theta = 53.13... درجة.
    • الاتجاه بثلاثة أرقام 053 درجة.

    ملاحظة الفاحص: يبدأ الاتجاه من الشمال وليس من المحور الأفقي.

29. 29.

    يتكون مجسم من أسطوانة نصف قطرها 3 cm وارتفاعها 8 cm يعلوها نصف كرة بالنصف نفسه. أوجد حجمه ومساحته الخارجية بدلالة pi. القاعدة السفلية مكشوفة ودائرة الوصل داخلية.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. تُجمع الحجوم لأن الداخلين لا يتداخلان. وللمساحة حدّد الأوجه الملامسة للهواء.
    2. لا تنتمي دائرة الوصل إلى الحدود المكشوفة. أضف القرص السفلي مرة واحدة مع السطحين المنحنيين.

    نقاط التصحيح

    • حجم الأسطوانة = pi(3^2)(8) = 72pi cm^3.
    • حجم نصف الكرة = (2/3)pi(3^3) = 18pi cm^3؛ المجموع 90pi cm^3.
    • مساحة الأسطوانة الجانبية = 2pi(3)(8) = 48pi cm^2.
    • مساحة نصف الكرة المنحنية = 2pi(3^2) = 18pi cm^2.
    • أضف القاعدة المكشوفة 9pi وليس الوصل الداخلي: المساحة الكلية 75pi cm^2.

    ملاحظة الفاحص: جمع المساحتين الكاملتين للأسطوانة ونصف الكرة يحسب الوصل المخفي مرتين.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.