الرياضيات

1. 1.

   يمر خط مستقيم بالنقطتين (1, 5) و(4, 17). أوجد ميل الخط واكتب معادلته على الصورة y = mx + c.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الميل = (17 − 5)/(4 − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على الميل = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض إحدى النقطتين لإيجاد c، مثل 5 = 4(1) + c. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المعادلة y = 4x + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق من المعادلة باستخدام النقطة الثانية أيضاً؛ يجب أن تحققها النقطتان كلتاهما.

   نقاط التصحيح

   • استخدام الميل = (17 − 5)/(4 − 1).
   • الحصول على الميل = 4.
   • تعويض إحدى النقطتين لإيجاد c، مثل 5 = 4(1) + c.
   • كتابة المعادلة y = 4x + 1.

   ملاحظة الفاحص: تحقق من المعادلة باستخدام النقطة الثانية أيضاً؛ يجب أن تحققها النقطتان كلتاهما.

2. 2.

   يقطع المنحنى y = x² − 2x − 8 محور x في نقطتين. أوجد إحداثيات النقطتين بالتحليل إلى عوامل.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على x = 4 وx = −2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد النقطتين (4, 0) و(−2, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب نقاط تقاطع محور x أن تكون y = 0، وتحتاج الإحداثيات إلى ذكر قيمتي x وy.

   نقاط التصحيح

   • التحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0.
   • الحل للحصول على x = 4 وx = −2.
   • تحديد النقطتين (4, 0) و(−2, 0).

   ملاحظة الفاحص: تتطلب نقاط تقاطع محور x أن تكون y = 0، وتحتاج الإحداثيات إلى ذكر قيمتي x وy.

3. 3.

   أوجد ميل الخط العمودي على y = 2x + 3.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن ميلي الخطين العموديين يُضربان ليعطيا −1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على الميل العمودي = −1/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الميل العمودي هو مقلوب الميل الأصلي بإشارة معاكسة.

   نقاط التصحيح

   • توضيح أن ميلي الخطين العموديين يُضربان ليعطيا −1.
   • الحصول على الميل العمودي = −1/2.

   ملاحظة الفاحص: الميل العمودي هو مقلوب الميل الأصلي بإشارة معاكسة.

4. 4.

   تُقذف كرة ويُعطى ارتفاعها h بالأمتار بعد t ثانية بالصيغة h = 20t − 5t². احسب الزمن الذي تصل عنده الكرة إلى أقصى ارتفاع، وحدد أقصى ارتفاع.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن أقصى نقطة لقطع مكافئ متجه للأسفل تحدث عند منتصف المسافة بين جذريه، أو استخدام t = −b/(2a) مع a = −5، b = 20. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على t = 2 ثانية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض t = 2 في h = 20(2) − 5(2)². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أقصى ارتفاع = 20 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ h = at² + bt + c، تحدث القيمة القصوى أو الدنيا دائماً عند t = −b/(2a) — وهي صيغة تستحق الحفظ لأي نموذج تربيعي.

   نقاط التصحيح

   • إدراك أن أقصى نقطة لقطع مكافئ متجه للأسفل تحدث عند منتصف المسافة بين جذريه، أو استخدام t = −b/(2a) مع a = −5، b = 20.
   • الحصول على t = 2 ثانية.
   • تعويض t = 2 في h = 20(2) − 5(2)².
   • تحديد أقصى ارتفاع = 20 m.

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ h = at² + bt + c، تحدث القيمة القصوى أو الدنيا دائماً عند t = −b/(2a) — وهي صيغة تستحق الحفظ لأي نموذج تربيعي.

5. 5.

   دالة معطاة بالصيغة f(x) = 3x − 2. أوجد f⁻¹(x)، الدالة العكسية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع y = 3x − 2 وإعادة الترتيب لجعل x الموضوع: x = (y + 2)/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبديل x وy (أو إعادة التسمية بشكل مناسب). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد f⁻¹(x) = (x + 2)/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق من دالتك العكسية بتعويض قيمة في f(x) ثم في f⁻¹(x) — يجب أن تحصل على قيمتك الأصلية مجدداً.

   نقاط التصحيح

   • وضع y = 3x − 2 وإعادة الترتيب لجعل x الموضوع: x = (y + 2)/3.
   • تبديل x وy (أو إعادة التسمية بشكل مناسب).
   • تحديد f⁻¹(x) = (x + 2)/3.

   ملاحظة الفاحص: تحقق من دالتك العكسية بتعويض قيمة في f(x) ثم في f⁻¹(x) — يجب أن تحصل على قيمتك الأصلية مجدداً.

6. 6.

   بمعلومية f(x) = x² + 1 وg(x) = 2x، أوجد الدالة المركبة fg(x).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن fg(x) تعني تعويض g(x) في f. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض g(x) = 2x في f(x) = x² + 1 للحصول على (2x)² + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد fg(x) = 4x² + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعني fg(x) 'طبّق g أولاً ثم f' — اعمل دائماً من الداخل إلى الخارج، وعوّض الدالة الداخلية أولاً.

   نقاط التصحيح

   • إدراك أن fg(x) تعني تعويض g(x) في f.
   • تعويض g(x) = 2x في f(x) = x² + 1 للحصول على (2x)² + 1.
   • تحديد fg(x) = 4x² + 1.

   ملاحظة الفاحص: تعني fg(x) 'طبّق g أولاً ثم f' — اعمل دائماً من الداخل إلى الخارج، وعوّض الدالة الداخلية أولاً.

7. 7.

   لخط مستقيم معادلة y = −3x + 6. حدد ميله ونقطة تقاطعه مع محور y، وأوجد نقطة تقاطعه مع محور x.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الميل = −3 ونقطة تقاطع y = 6، مقروءتين مباشرة من المعادلة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع y = 0 لإيجاد نقطة تقاطع x: 0 = −3x + 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على x = 2، لذا نقطة تقاطع x هي (2, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ y = mx + c، يمكن قراءة m وc مباشرة؛ ويتطلب إيجاد تقاطع x دائماً وضع y = 0 والحل.

   نقاط التصحيح

   • تحديد الميل = −3 ونقطة تقاطع y = 6، مقروءتين مباشرة من المعادلة.
   • وضع y = 0 لإيجاد نقطة تقاطع x: 0 = −3x + 6.
   • الحل للحصول على x = 2، لذا نقطة تقاطع x هي (2, 0).

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = mx + c، يمكن قراءة m وc مباشرة؛ ويتطلب إيجاد تقاطع x دائماً وضع y = 0 والحل.

8. 8.

   صِف، بالكلمات، كيف يُحوَّل الرسم البياني لـ y = x² للحصول على الرسم البياني لـ y = (x − 3)² + 2.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الرسم البياني يُنقل 3 وحدات باتجاه x الموجب (إلى اليمين). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الرسم البياني يُنقل أيضاً 2 وحدة باتجاه y الموجب (إلى الأعلى). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ y = (x − a)² + b، يُنقل الرسم البياني لـ y = x² بالمتجه (a, b) — وهو مصدر شائع للالتباس في الإشارة لاتجاه x.

   نقاط التصحيح

   • توضيح أن الرسم البياني يُنقل 3 وحدات باتجاه x الموجب (إلى اليمين).
   • توضيح أن الرسم البياني يُنقل أيضاً 2 وحدة باتجاه y الموجب (إلى الأعلى).

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = (x − a)² + b، يُنقل الرسم البياني لـ y = x² بالمتجه (a, b) — وهو مصدر شائع للالتباس في الإشارة لاتجاه x.

9. 9.

   يُظهر رسم بياني للمسافة والزمن لسيارة أنها تسير بسرعة ثابتة 15 m/s لمدة 20 ثانية، ثم تتوقف لمدة 10 ثوانٍ. احسب المسافة الكلية المقطوعة ومتوسط السرعة خلال الثواني الثلاثين كلها.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المسافة = السرعة × الزمن لمرحلة الحركة: 15 × 20. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مسافة = 300 m (دون مسافة إضافية أثناء التوقف). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي = 300 ÷ 30. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على متوسط سرعة = 10 m/s. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يستخدم متوسط السرعة الزمن الكلي للرحلة، متضمناً أي فترات توقف، وليس زمن الحركة فقط.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المسافة = السرعة × الزمن لمرحلة الحركة: 15 × 20.
   • الحصول على مسافة = 300 m (دون مسافة إضافية أثناء التوقف).
   • استخدام متوسط السرعة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي = 300 ÷ 30.
   • الحصول على متوسط سرعة = 10 m/s.

   ملاحظة الفاحص: يستخدم متوسط السرعة الزمن الكلي للرحلة، متضمناً أي فترات توقف، وليس زمن الحركة فقط.

10. 10.

    رسم بياني تربيعي y = x² − 4x + k يمس محور x عند نقطة واحدة بالضبط. احسب قيمة k.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن مس محور x عند نقطة واحدة بالضبط يعني أن المميز b² − 4ac = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض a = 1، b = −4، c = k: (−4)² − 4(1)(k) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل 16 − 4k = 0 للحصول على k = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يقابل المميز الصفري دائماً جذراً مكرراً — الرسم البياني يمس محور x (لا يقطعه) عند نقطة واحدة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن مس محور x عند نقطة واحدة بالضبط يعني أن المميز b² − 4ac = 0.
    • تعويض a = 1، b = −4، c = k: (−4)² − 4(1)(k) = 0.
    • حل 16 − 4k = 0 للحصول على k = 4.

    ملاحظة الفاحص: يقابل المميز الصفري دائماً جذراً مكرراً — الرسم البياني يمس محور x (لا يقطعه) عند نقطة واحدة.

11. 11.

    النقطتان A(2, 3) وB(8, 11) معطاتان. أوجد منتصف AB وطول AB.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة المنتصف: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المنتصف (5, 7). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة المسافة: √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب طول AB = √(6² + 8²) = √100 = 10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: صيغة المسافة هي تطبيق نظرية فيثاغورس على الفرقين الأفقي والرأسي بين النقطتين.

    نقاط التصحيح

    • كتابة صيغة المنتصف: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
    • حساب المنتصف (5, 7).
    • كتابة صيغة المسافة: √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
    • حساب طول AB = √(6² + 8²) = √100 = 10.

    ملاحظة الفاحص: صيغة المسافة هي تطبيق نظرية فيثاغورس على الفرقين الأفقي والرأسي بين النقطتين.

12. 12.

    أوجد معادلة الخط الموازي لـ y = 2x − 5 والمار بالنقطة (3, 4).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الخط الموازي له الميل نفسه، لذا m = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض النقطة في y = 2x + c: 4 = 2(3) + c. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل لإيجاد c = −2، لتصبح المعادلة y = 2x − 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تشترك الخطوط المتوازية دائماً في الميل نفسه — يحتاج الأمر فقط لإيجاد نقطة تقاطع y (c) باستخدام النقطة المعطاة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن الخط الموازي له الميل نفسه، لذا m = 2.
    • تعويض النقطة في y = 2x + c: 4 = 2(3) + c.
    • الحل لإيجاد c = −2، لتصبح المعادلة y = 2x − 2.

    ملاحظة الفاحص: تشترك الخطوط المتوازية دائماً في الميل نفسه — يحتاج الأمر فقط لإيجاد نقطة تقاطع y (c) باستخدام النقطة المعطاة.

13. 13.

    عبّر عن y = x² − 6x + 11 بالصورة (x − a)² + b، ثم حدد إحداثيات النقطة الحرجة للمنحنى.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إكمال المربع: x² − 6x + 11 = (x − 3)² − 9 + 11. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى (x − 3)² + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد النقطة الحرجة (3, 2)، وهي أدنى نقطة لأن معامل x² موجب. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ y = (x − a)² + b، تقع النقطة الحرجة دائماً عند (a, b) — اقرأها مباشرة بعد إكمال المربع.

    نقاط التصحيح

    • إكمال المربع: x² − 6x + 11 = (x − 3)² − 9 + 11.
    • التبسيط إلى (x − 3)² + 2.
    • تحديد النقطة الحرجة (3, 2)، وهي أدنى نقطة لأن معامل x² موجب.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = (x − a)² + b، تقع النقطة الحرجة دائماً عند (a, b) — اقرأها مباشرة بعد إكمال المربع.

14. 14.

    أوجد إحداثيات نقاط تقاطع الخط y = 2x − 1 مع المنحنى y = x² − 2x − 1.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة تعبيري y: 2x − 1 = x² − 2x − 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب إلى x² − 4x = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل: x(x − 4) = 0، لتصبح x = 0 أو x = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض العكسي لإيجاد النقطتين (0, −1) و(4, 7). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عوّض كل قيمة لـx في المعادلة الأبسط (الخطية) لإيجاد إحداثي y المقابل لها.

    نقاط التصحيح

    • مساواة تعبيري y: 2x − 1 = x² − 2x − 1.
    • إعادة الترتيب إلى x² − 4x = 0.
    • التحليل: x(x − 4) = 0، لتصبح x = 0 أو x = 4.
    • التعويض العكسي لإيجاد النقطتين (0, −1) و(4, 7).

    ملاحظة الفاحص: عوّض كل قيمة لـx في المعادلة الأبسط (الخطية) لإيجاد إحداثي y المقابل لها.

15. 15.

    قيمة سيارة $V بعد t سنوات تُنمذج بالصيغة V = 18000 × (0.85)ᵗ. احسب قيمة السيارة بعد 5 سنوات، لأقرب دولار.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض t = 5 في V = 18000 × (0.85)⁵. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب (0.85)⁵ ≈ 0.4437. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد V ≈ 7987 دولاراً لأقرب دولار. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: في نموذج تناقص أُسي كهذا، يجب أن يكون الأساس (هنا 0.85) أقل من 1، لأن القيمة تتناقص كل سنة.

    نقاط التصحيح

    • تعويض t = 5 في V = 18000 × (0.85)⁵.
    • حساب (0.85)⁵ ≈ 0.4437.
    • تحديد V ≈ 7987 دولاراً لأقرب دولار.

    ملاحظة الفاحص: في نموذج تناقص أُسي كهذا، يجب أن يكون الأساس (هنا 0.85) أقل من 1، لأن القيمة تتناقص كل سنة.

16. 16.

    حدد معادلتي الخطين المقاربين للرسم البياني y = 3/x + 2.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الخط المقارب الرأسي x = 0، حيث الدالة غير معرَّفة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الخط المقارب الأفقي y = 2، وهي القيمة التي يقترب منها الرسم البياني عندما تكبر x جداً أو تصغر جداً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ y = k/x + c، الخط المقارب الرأسي هو دائماً x = 0 والأفقي هو دائماً y = c.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الخط المقارب الرأسي x = 0، حيث الدالة غير معرَّفة.
    • تحديد الخط المقارب الأفقي y = 2، وهي القيمة التي يقترب منها الرسم البياني عندما تكبر x جداً أو تصغر جداً.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = k/x + c، الخط المقارب الرأسي هو دائماً x = 0 والأفقي هو دائماً y = c.

17. 17.

    يُظهر رسم بياني للسرعة والزمن سيارة تتسارع بانتظام من 0 إلى 20 m/s خلال 8 ثوانٍ، ثم تسير بسرعة ثابتة 20 m/s لمدة 12 ثانية أخرى. احسب المسافة الكلية المقطوعة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المسافة أثناء التسارع كمساحة مثلث: (1/2) × 8 × 20 = 80 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المسافة أثناء السرعة الثابتة 20 × 12 = 240 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع المسافتين للحصول على مجموع 320 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: في الرسم البياني للسرعة والزمن، تمثل دائماً المساحة بين الرسم ومحور الزمن المسافة المقطوعة، مهما كان شكل تلك المنطقة.

    نقاط التصحيح

    • حساب المسافة أثناء التسارع كمساحة مثلث: (1/2) × 8 × 20 = 80 m.
    • حساب المسافة أثناء السرعة الثابتة 20 × 12 = 240 m.
    • جمع المسافتين للحصول على مجموع 320 m.

    ملاحظة الفاحص: في الرسم البياني للسرعة والزمن، تمثل دائماً المساحة بين الرسم ومحور الزمن المسافة المقطوعة، مهما كان شكل تلك المنطقة.

18. 18.

    رسم بياني للسرعة والزمن خط مستقيم يُظهر السرعة تزداد من 4 m/s إلى 22 m/s خلال 6 ثوانٍ. احسب التسارع.

    [2 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام التسارع = (التغير في السرعة)/(الزمن المستغرق) = (22 − 4)/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد التسارع 3 m/s². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمثل ميل الرسم البياني للسرعة والزمن دائماً التسارع، بالطريقة نفسها التي يمثل بها ميل الرسم البياني للمسافة والزمن السرعة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام التسارع = (التغير في السرعة)/(الزمن المستغرق) = (22 − 4)/6.
    • تحديد التسارع 3 m/s².

    ملاحظة الفاحص: يمثل ميل الرسم البياني للسرعة والزمن دائماً التسارع، بالطريقة نفسها التي يمثل بها ميل الرسم البياني للمسافة والزمن السرعة.

19. 19.

    يقطع المنحنى y = x² − 5x + 6 محور x في نقطتين. أوجد إحداثيي x لهاتين النقطتين، وحدد معادلة محور تماثل المنحنى.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحليل x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نقطتي تقاطع محور x عند x = 2 وx = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد محور التماثل x = 2.5، منتصف الجذرين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمر محور تماثل أي دالة تربيعية دائماً في منتصف المسافة بالضبط بين نقطتي تقاطعها مع محور x، عند وجودهما.

    نقاط التصحيح

    • تحليل x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
    • تحديد نقطتي تقاطع محور x عند x = 2 وx = 3.
    • تحديد محور التماثل x = 2.5، منتصف الجذرين.

    ملاحظة الفاحص: يمر محور تماثل أي دالة تربيعية دائماً في منتصف المسافة بالضبط بين نقطتي تقاطعها مع محور x، عند وجودهما.

20. 20.

    رسم بياني للتحويل خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، يُحوّل الأميال (x) إلى كيلومترات (y). يمر الخط بالنقطة (5, 8). أوجد المعادلة الرابطة بين y وx، واستخدمها لتحويل 20 ميلاً إلى كيلومترات.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الميل عبر نقطة الأصل: 8/5 = 1.6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المعادلة y = 1.6x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 20 للحصول على y = 32 km. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يأخذ رسم التحويل البياني عبر نقطة الأصل دائماً الصورة البسيطة y = kx، لأن صفر إحدى الوحدتين يجب أن يقابل دائماً صفر الأخرى.

    نقاط التصحيح

    • حساب الميل عبر نقطة الأصل: 8/5 = 1.6.
    • كتابة المعادلة y = 1.6x.
    • تعويض x = 20 للحصول على y = 32 km.

    ملاحظة الفاحص: يأخذ رسم التحويل البياني عبر نقطة الأصل دائماً الصورة البسيطة y = kx، لأن صفر إحدى الوحدتين يجب أن يقابل دائماً صفر الأخرى.

21. 21.

    حل المتباينة x² − x − 6 > 0.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحليل x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد القيمتين الحرجتين x = −2 وx = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحل x < −2 أو x > 3، لأن القطع المكافئ المتجه للأعلى موجب خارج جذريه. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يوضّح رسم القطع المكافئ المتجه للأعلى وجذريه بصرياً أي منطقة تقع فوق محور x (موجبة) وأيها تقع تحته.

    نقاط التصحيح

    • تحليل x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
    • تحديد القيمتين الحرجتين x = −2 وx = 3.
    • كتابة الحل x < −2 أو x > 3، لأن القطع المكافئ المتجه للأعلى موجب خارج جذريه.

    ملاحظة الفاحص: يوضّح رسم القطع المكافئ المتجه للأعلى وجذريه بصرياً أي منطقة تقع فوق محور x (موجبة) وأيها تقع تحته.

22. 22.

    لخط مستقيم بياني نقطة تقاطع x عنده (6, 0) ونقطة تقاطع y عنده (0, −4). أوجد معادلة الخط.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الميل بين نقطتي التقاطع: (0 − (−4))/(6 − 0) = 4/6 = 2/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام نقطة تقاطع y مباشرة كـ c = −4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المعادلة y = (2/3)x − 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُعطي نقطة تقاطع y للخط، (0, c)، قيمة c مباشرة دائماً — لا حاجة لتعويض بمجرد معرفتها.

    نقاط التصحيح

    • حساب الميل بين نقطتي التقاطع: (0 − (−4))/(6 − 0) = 4/6 = 2/3.
    • استخدام نقطة تقاطع y مباشرة كـ c = −4.
    • كتابة المعادلة y = (2/3)x − 4.

    ملاحظة الفاحص: تُعطي نقطة تقاطع y للخط، (0, c)، قيمة c مباشرة دائماً — لا حاجة لتعويض بمجرد معرفتها.

23. 23.

    يقطع الرسم البياني y = (x − 1)(x + 2)(x − 3) محور x في ثلاث نقاط. حدد إحداثيات هذه النقاط الثلاث.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة كل عامل بالصفر: x − 1 = 0، x + 2 = 0، x − 3 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على x = 1، x = −2، x = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد النقاط الثلاث (1, 0) و(−2, 0) و(3, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لرسم بياني مُعطى بصورة محللة بالكامل، يعطي كل عامل يُساوى بالصفر نقطة تقاطع واحدة مع محور x مباشرة.

    نقاط التصحيح

    • مساواة كل عامل بالصفر: x − 1 = 0، x + 2 = 0، x − 3 = 0.
    • الحل للحصول على x = 1، x = −2، x = 3.
    • تحديد النقاط الثلاث (1, 0) و(−2, 0) و(3, 0).

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لرسم بياني مُعطى بصورة محللة بالكامل، يعطي كل عامل يُساوى بالصفر نقطة تقاطع واحدة مع محور x مباشرة.

24. 24.

    رسم بياني للمسافة والزمن لعدّاء منحنٍ ويزداد انحداره مع مرور الزمن. صِف ما يشير إليه هذا الشكل بشأن سرعة العدّاء.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن ميل الرسم البياني للمسافة والزمن يمثل السرعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه بما أن انحدار الرسم البياني يزداد مع الزمن، فإن سرعة العدّاء تتزايد (العدّاء يتسارع). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعني الرسم البياني المنحني للمسافة والزمن سرعة متغيرة: زيادة الانحدار تعني تسارعاً، ونقصانه يعني تباطؤاً.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن ميل الرسم البياني للمسافة والزمن يمثل السرعة.
    • توضيح أنه بما أن انحدار الرسم البياني يزداد مع الزمن، فإن سرعة العدّاء تتزايد (العدّاء يتسارع).

    ملاحظة الفاحص: يعني الرسم البياني المنحني للمسافة والزمن سرعة متغيرة: زيادة الانحدار تعني تسارعاً، ونقصانه يعني تباطؤاً.

25. 25.

    يبين جدول ارتفاع نبتة (cm) عبر الزمن: عند الأسبوع 0 يبلغ 5 cm، وعند الأسبوع 4 يبلغ 17 cm. بافتراض أن النمو خطي، أوجد معدل النمو الأسبوعي وتوقّع ارتفاع النبتة عند الأسبوع 10.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الميل = (17 − 5)/(4 − 0) = 3 cm أسبوعياً كمعدل نمو. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة النموذج: الارتفاع = 3 × الأسبوع + 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض الأسبوع = 10 لتوقّع ارتفاع 35 cm. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تكفي نقطتا بيانات لإيجاد ميل وتقاطع نموذج خطي، لكن التوقع بعيداً عن الأسابيع المعطاة يفترض استمرار النمط الخطي، وهو ما قد لا يصح فعلياً لنمو النبات.

    نقاط التصحيح

    • استخدام الميل = (17 − 5)/(4 − 0) = 3 cm أسبوعياً كمعدل نمو.
    • كتابة النموذج: الارتفاع = 3 × الأسبوع + 5.
    • تعويض الأسبوع = 10 لتوقّع ارتفاع 35 cm.

    ملاحظة الفاحص: تكفي نقطتا بيانات لإيجاد ميل وتقاطع نموذج خطي، لكن التوقع بعيداً عن الأسابيع المعطاة يفترض استمرار النمط الخطي، وهو ما قد لا يصح فعلياً لنمو النبات.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.