الرياضيات

1. 1.

   خُفّض سعر حاسوب محمول بنسبة 15% ليصبح سعره 612 دولاراً. احسب سعره قبل التخفيض.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يترك التخفيض 15% نسبة 100% - 15% = 85% من السعر الأصلي. إذا كان السعر p، فسعر البيع 0.85p.
   2. حل 0.85p = 612 بالقسمة: p = 612/0.85 = 720 دولاراً. إضافة 15% إلى 612 تستخدم أساساً خاطئاً.
   3. تحقق في الاتجاه الأصلي: 15% من 720 تساوي 108، و720 - 108 = 612. السعر الأصلي $720.

   نقاط التصحيح

   • إدراك أن 612 دولاراً تمثل 85% من السعر الأصلي.
   • استخدام السعر الأصلي = 612 ÷ 0.85.
   • الحصول على 720 دولاراً.

   ملاحظة الفاحص: يُحسب التخفيض بالنسبة المئوية من السعر الأصلي وليس سعر البيع.

2. 2.

   حل المعادلتين معاً: 2x + y = 11 وx − y = 1. وضّح طريقة الحذف أو التعويض.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع المعادلتين أو التعويض بشكل صحيح لحذف أحد المتغيرين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 3x = 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد x = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض لإيجاد y = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق من القيمتين في كلتا المعادلتين الأصليتين.

   نقاط التصحيح

   • جمع المعادلتين أو التعويض بشكل صحيح لحذف أحد المتغيرين.
   • الحصول على 3x = 12.
   • إيجاد x = 4.
   • التعويض لإيجاد y = 3.

   ملاحظة الفاحص: تحقق من القيمتين في كلتا المعادلتين الأصليتين.

3. 3.

   بسّط بالكامل: 3(2x − 5) − 2(x − 4).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: فك كلا القوسين: 6x − 15 − 2x + 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع حدود x للحصول على 4x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد التعبير المبسط 4x − 7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: انتبه للإشارة عند فك قوس مسبوق بإشارة سالبة.

   نقاط التصحيح

   • فك كلا القوسين: 6x − 15 − 2x + 8.
   • جمع حدود x للحصول على 4x.
   • تحديد التعبير المبسط 4x − 7.

   ملاحظة الفاحص: انتبه للإشارة عند فك قوس مسبوق بإشارة سالبة.

4. 4.

   استُثمر مبلغ 5000 دولار بفائدة مركبة سنوية 4%. احسب قيمة الاستثمار بعد 3 سنوات.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المضاعف 1.04 لكل سنة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب 5000 × 1.04³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 5624.32 دولاراً (لأقرب سنت). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: رفع المضاعف إلى قوة عدد السنوات أسرع وأدق من الحساب سنة بسنة.

   نقاط التصحيح

   • استخدام المضاعف 1.04 لكل سنة.
   • حساب 5000 × 1.04³.
   • الحصول على 5624.32 دولاراً (لأقرب سنت).

   ملاحظة الفاحص: رفع المضاعف إلى قوة عدد السنوات أسرع وأدق من الحساب سنة بسنة.

5. 5.

   حلّل إلى عوامل بالكامل: 6x² − 15x.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد العامل المشترك الأكبر 3x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الصيغة المحللة 3x(2x − 5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق بفك تعبيرك مجدداً — يجب أن يطابق التعبير الأصلي تماماً.

   نقاط التصحيح

   • تحديد العامل المشترك الأكبر 3x.
   • تحديد الصيغة المحللة 3x(2x − 5).

   ملاحظة الفاحص: تحقق بفك تعبيرك مجدداً — يجب أن يطابق التعبير الأصلي تماماً.

6. 6.

   عبّر عن 0.(45) — الكسر العشري الدوري 0.454545... — ككسر بأبسط صورة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع x = 0.454545... و100x = 45.4545.... اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الطرح للحصول على 99x = 45. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد x = 45/99. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى 5/11. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اضرب في 100 (وليس 10) عندما يتكرر جزء من رقمين، بحيث يلغي الطرح الجزء الدوري تماماً.

   نقاط التصحيح

   • وضع x = 0.454545... و100x = 45.4545....
   • الطرح للحصول على 99x = 45.
   • تحديد x = 45/99.
   • التبسيط إلى 5/11.

   ملاحظة الفاحص: اضرب في 100 (وليس 10) عندما يتكرر جزء من رقمين، بحيث يلغي الطرح الجزء الدوري تماماً.

7. 7.

   حل المتباينة 3x − 7 ≤ 11، ومثّل الحل على خط الأعداد.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إضافة 7 إلى الطرفين: 3x ≤ 18. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: القسمة على 3: x ≤ 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تمثيل x ≤ 6 بشكل صحيح على خط الأعداد، بدائرة مملوءة عند 6 وتظليل نحو اليسار. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تشير الدائرة المملوءة إلى أن القيمة الحدية مشمولة (≤ أو ≥)؛ وتشير الدائرة المفتوحة إلى أنها غير مشمولة (< أو >).

   نقاط التصحيح

   • إضافة 7 إلى الطرفين: 3x ≤ 18.
   • القسمة على 3: x ≤ 6.
   • تمثيل x ≤ 6 بشكل صحيح على خط الأعداد، بدائرة مملوءة عند 6 وتظليل نحو اليسار.

   ملاحظة الفاحص: تشير الدائرة المملوءة إلى أن القيمة الحدية مشمولة (≤ أو ≥)؛ وتشير الدائرة المفتوحة إلى أنها غير مشمولة (< أو >).

8. 8.

   اكتب 384 كناتج ضرب عواملها الأولية، مع كتابة إجابتك بصورة الأس.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: القسمة المتكررة على العوامل الأولية، مثل 384 = 2 × 192 = 2 × 2 × 96 = ... اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستمرار إلى التحليل الكامل: 2⁷ × 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من أن التحليل يُعطي 384 عند ضربه مجدداً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: استخدم شجرة عوامل أو قسمة متكررة على أصغر عدد أولي في كل مرة لتجنب إغفال عامل.

   نقاط التصحيح

   • القسمة المتكررة على العوامل الأولية، مثل 384 = 2 × 192 = 2 × 2 × 96 = ...
   • الاستمرار إلى التحليل الكامل: 2⁷ × 3.
   • التحقق من أن التحليل يُعطي 384 عند ضربه مجدداً.

   ملاحظة الفاحص: استخدم شجرة عوامل أو قسمة متكررة على أصغر عدد أولي في كل مرة لتجنب إغفال عامل.

9. 9.

   اجعل r موضوع الصيغة V = (4/3)πr³.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ضرب الطرفين في 3/(4π) لعزل r³: r³ = 3V/(4π). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: أخذ الجذر التكعيبي للطرفين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد r = ∛(3V/(4π)). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ألغِ العمليات بترتيب عكسي: بما أن r مكعبة ومضروبة بثوابت، اعزل r³ أولاً ثم خذ الجذر التكعيبي أخيراً.

   نقاط التصحيح

   • ضرب الطرفين في 3/(4π) لعزل r³: r³ = 3V/(4π).
   • أخذ الجذر التكعيبي للطرفين.
   • تحديد r = ∛(3V/(4π)).

   ملاحظة الفاحص: ألغِ العمليات بترتيب عكسي: بما أن r مكعبة ومضروبة بثوابت، اعزل r³ أولاً ثم خذ الجذر التكعيبي أخيراً.

10. 10.

    زاد عدد بنسبة 20% ثم نقص بنسبة 20%. حدد ما إذا كانت النتيجة النهائية أكبر من العدد الأصلي أو أصغر منه أو تساويه، موضحاً استدلالك بمثال.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختيار قيمة بداية، مثل 100. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الزيادة بنسبة 20% للحصول على 120. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تنقيص القيمة الجديدة بنسبة 20% للحصول على 120 × 0.8 = 96. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أن النتيجة النهائية (96) أقل من العدد الأصلي (100)، لأن النسبة المئوية الثانية تُؤخذ من أساس أكبر. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تعود الزيادة بنسبة مئوية متبوعة بنقصان بالنسبة نفسها أبداً إلى القيمة الأصلية، لأن النقصان يُحسب من أساس أكبر (أو أصغر) من الذي حُسبت منه الزيادة.

    نقاط التصحيح

    • اختيار قيمة بداية، مثل 100.
    • الزيادة بنسبة 20% للحصول على 120.
    • تنقيص القيمة الجديدة بنسبة 20% للحصول على 120 × 0.8 = 96.
    • الاستنتاج أن النتيجة النهائية (96) أقل من العدد الأصلي (100)، لأن النسبة المئوية الثانية تُؤخذ من أساس أكبر.

    ملاحظة الفاحص: لا تعود الزيادة بنسبة مئوية متبوعة بنقصان بالنسبة نفسها أبداً إلى القيمة الأصلية، لأن النقصان يُحسب من أساس أكبر (أو أصغر) من الذي حُسبت منه الزيادة.

11. 11.

    يبلغ سعر سترة 250 دولاراً. خُفّض سعرها أولاً بنسبة 20% في تخفيضات، ثم أُضيفت ضريبة مبيعات 8% إلى السعر المخفّض. احسب السعر النهائي.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب السعر المخفّض: 250 × 0.8 = 200. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تطبيق مضاعف الضريبة: 200 × 1.08. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على سعر نهائي قدره 216 دولاراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: طبّق كل تغيير في النسبة المئوية بالتتابع على الناتج الحالي، وليس كليهما على السعر الأصلي.

    نقاط التصحيح

    • حساب السعر المخفّض: 250 × 0.8 = 200.
    • تطبيق مضاعف الضريبة: 200 × 1.08.
    • الحصول على سعر نهائي قدره 216 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: طبّق كل تغيير في النسبة المئوية بالتتابع على الناتج الحالي، وليس كليهما على السعر الأصلي.

12. 12.

    اكتب 0.000473 بالصيغة القياسية.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الأرقام المعنوية 4.73. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الإجابة 4.73 × 10⁻⁴. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عدّ عدد المنازل التي تنتقل فيها الفاصلة العشرية للوصول إلى عدد بين 1 و10 — هذا العدد، بالإشارة الصحيحة، هو أس العدد 10.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الأرقام المعنوية 4.73.
    • تحديد الإجابة 4.73 × 10⁻⁴.

    ملاحظة الفاحص: عدّ عدد المنازل التي تنتقل فيها الفاصلة العشرية للوصول إلى عدد بين 1 و10 — هذا العدد، بالإشارة الصحيحة، هو أس العدد 10.

13. 13.

    احسب (3.2 × 10⁵) × (4 × 10³)، مع كتابة الإجابة بالصيغة القياسية.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ضرب الجزأين العشريين: 3.2 × 4 = 12.8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع أسس العدد 10: 10⁵ × 10³ = 10⁸. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة كتابة 12.8 × 10⁸ بالصيغة القياسية الصحيحة 1.28 × 10⁹. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: إذا أعطى ضرب الجزأين العشريين ناتجاً يساوي 10 أو أكثر، يجب تعديله ليعود ضمن المدى من 1 إلى 10 وإضافة واحد إلى أس العدد 10.

    نقاط التصحيح

    • ضرب الجزأين العشريين: 3.2 × 4 = 12.8.
    • جمع أسس العدد 10: 10⁵ × 10³ = 10⁸.
    • إعادة كتابة 12.8 × 10⁸ بالصيغة القياسية الصحيحة 1.28 × 10⁹.

    ملاحظة الفاحص: إذا أعطى ضرب الجزأين العشريين ناتجاً يساوي 10 أو أكثر، يجب تعديله ليعود ضمن المدى من 1 إلى 10 وإضافة واحد إلى أس العدد 10.

14. 14.

    بسّط بالكامل: (2x³)⁴ ÷ (4x⁵).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: فك القوس: (2x³)⁴ = 16x¹². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: قسمة المعاملين: 16 ÷ 4 = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: طرح أسي x: x¹² ÷ x⁵ = x⁷، لتصبح 4x⁷. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ارفع كلاً من المعامل والأس داخل القوس إلى الأس الخارجي قبل الدمج مع أي شيء آخر.

    نقاط التصحيح

    • فك القوس: (2x³)⁴ = 16x¹².
    • قسمة المعاملين: 16 ÷ 4 = 4.
    • طرح أسي x: x¹² ÷ x⁵ = x⁷، لتصبح 4x⁷.

    ملاحظة الفاحص: ارفع كلاً من المعامل والأس داخل القوس إلى الأس الخارجي قبل الدمج مع أي شيء آخر.

15. 15.

    الحد النوني لمتتالية هو Uₙ = 5n − 3. أوجد U₁ وU₁₀، وحدد ما إذا كان 152 حداً في هذه المتتالية.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 1 للحصول على U₁ = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض n = 10 للحصول على U₁₀ = 47. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 5n − 3 = 152 والحل للحصول على n = 31. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أنه بما أن n = 31 عدد صحيح موجب، فإن 152 حد في المتتالية (الحد الحادي والثلاثون). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تنتمي قيمة إلى متتالية فقط إذا أعطى حل n عدداً صحيحاً موجباً — n الكسري أو السالب يعني أنها ليست حداً.

    نقاط التصحيح

    • تعويض n = 1 للحصول على U₁ = 2.
    • تعويض n = 10 للحصول على U₁₀ = 47.
    • وضع 5n − 3 = 152 والحل للحصول على n = 31.
    • الاستنتاج أنه بما أن n = 31 عدد صحيح موجب، فإن 152 حد في المتتالية (الحد الحادي والثلاثون).

    ملاحظة الفاحص: تنتمي قيمة إلى متتالية فقط إذا أعطى حل n عدداً صحيحاً موجباً — n الكسري أو السالب يعني أنها ليست حداً.

16. 16.

    لمتتالية هندسية حدها الأول 3 وأساسها 2. أوجد الحد السادس ومجموع الحدود الستة الأولى.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام صيغة الحد النوني Uₙ = ar⁽ⁿ⁻¹⁾ مع a = 3، r = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الحد السادس U₆ = 3 × 2⁵ = 96. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام صيغة المجموع Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 189. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الأس في صيغة الحد النوني هو (n − 1) وليس n — خطأ شائع بفارق واحد.

    نقاط التصحيح

    • استخدام صيغة الحد النوني Uₙ = ar⁽ⁿ⁻¹⁾ مع a = 3، r = 2.
    • حساب الحد السادس U₆ = 3 × 2⁵ = 96.
    • استخدام صيغة المجموع Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1).
    • حساب S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 189.

    ملاحظة الفاحص: الأس في صيغة الحد النوني هو (n − 1) وليس n — خطأ شائع بفارق واحد.

17. 17.

    حل x² − 5x + 3 = 0 باستخدام القانون العام، مع كتابة الإجابات لأقرب منزلتين عشريتين.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) مع a = 1، b = −5، c = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المميز b² − 4ac = 25 − 12 = 13. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على x = (5 ± √13)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة كلا الحلين x = 4.30 وx = 0.70 (لمنزلتين عشريتين). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: حدد a وb وc بعناية من المعادلة بالصورة ax² + bx + c = 0 قبل التعويض في القانون.

    نقاط التصحيح

    • كتابة القانون العام x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) مع a = 1، b = −5، c = 3.
    • حساب المميز b² − 4ac = 25 − 12 = 13.
    • التعويض للحصول على x = (5 ± √13)/2.
    • كتابة كلا الحلين x = 4.30 وx = 0.70 (لمنزلتين عشريتين).

    ملاحظة الفاحص: حدد a وb وc بعناية من المعادلة بالصورة ax² + bx + c = 0 قبل التعويض في القانون.

18. 18.

    حل معاً: y = x + 1 وy = x² − 5.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة تعبيري y: x + 1 = x² − 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية تساوي صفراً: x² − x − 6 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل إلى (x − 3)(x + 2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على x = 3 وx = −2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض العكسي لإيجاد قيمتي y المقابلتين: (3, 4) و(−2, −1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عوّض دائماً كل قيمة لـx في المعادلة الأبسط (الخطية) لإيجاد قيمة y المقابلة لها.

    نقاط التصحيح

    • مساواة تعبيري y: x + 1 = x² − 5.
    • إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية تساوي صفراً: x² − x − 6 = 0.
    • التحليل إلى (x − 3)(x + 2) = 0.
    • الحصول على x = 3 وx = −2.
    • التعويض العكسي لإيجاد قيمتي y المقابلتين: (3, 4) و(−2, −1).

    ملاحظة الفاحص: عوّض دائماً كل قيمة لـx في المعادلة الأبسط (الخطية) لإيجاد قيمة y المقابلة لها.

19. 19.

    y يتناسب طردياً مع x². عندما x = 3، y = 45. أوجد y عندما x = 5.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة العلاقة y = kx². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 3، y = 45 للحصول على 45 = 9k. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل لإيجاد k = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 5 في y = 5x² للحصول على y = 125. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أوجد ثابت التناسب k أولاً باستخدام الزوج المعطى من القيم، قبل استخدام الصيغة لأي قيمة أخرى.

    نقاط التصحيح

    • كتابة العلاقة y = kx².
    • تعويض x = 3، y = 45 للحصول على 45 = 9k.
    • الحل لإيجاد k = 5.
    • تعويض x = 5 في y = 5x² للحصول على y = 125.

    ملاحظة الفاحص: أوجد ثابت التناسب k أولاً باستخدام الزوج المعطى من القيم، قبل استخدام الصيغة لأي قيمة أخرى.

20. 20.

    p يتناسب عكسياً مع q. عندما q = 4، p = 15. أوجد p عندما q = 10.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة العلاقة p = k/q. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض q = 4، p = 15 للحصول على 15 = k/4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل لإيجاد k = 60. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض q = 10 في p = 60/q للحصول على p = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: مع زيادة q في التناسب العكسي، يجب أن تنقص p — استخدم ذلك للتحقق من اتجاه إجابتك النهائية.

    نقاط التصحيح

    • كتابة العلاقة p = k/q.
    • تعويض q = 4، p = 15 للحصول على 15 = k/4.
    • الحل لإيجاد k = 60.
    • تعويض q = 10 في p = 60/q للحصول على p = 6.

    ملاحظة الفاحص: مع زيادة q في التناسب العكسي، يجب أن تنقص p — استخدم ذلك للتحقق من اتجاه إجابتك النهائية.

21. 21.

    قُسم مبلغ 720 دولاراً بين A وB وC بالنسبة 2 : 3 : 4. احسب نصيب B.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد العدد الكلي للأجزاء: 2 + 3 + 4 = 9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب قيمة الجزء الواحد: 720 ÷ 9 = 80. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نصيب B بأنه 3 × 80 = 240 دولاراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أوجد دائماً قيمة الجزء الواحد أولاً بالقسمة على العدد الكلي للأجزاء، ثم اضرب في عدد الأجزاء المطلوب.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد العدد الكلي للأجزاء: 2 + 3 + 4 = 9.
    • حساب قيمة الجزء الواحد: 720 ÷ 9 = 80.
    • تحديد نصيب B بأنه 3 × 80 = 240 دولاراً.

    ملاحظة الفاحص: أوجد دائماً قيمة الجزء الواحد أولاً بالقسمة على العدد الكلي للأجزاء، ثم اضرب في عدد الأجزاء المطلوب.

22. 22.

    قِيس طول فبلغ 15 سم، لأقرب سنتيمتر. اكتب الحدين الأعلى والأدنى لهذا الطول.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الحد الأدنى 14.5 سم. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الحد الأعلى 15.5 سم. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لقياس مُقرَّب لأقرب وحدة، يكون الحدان أقل بنصف وحدة وأكثر بنصف وحدة من القيمة المعطاة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الحد الأدنى 14.5 سم.
    • تحديد الحد الأعلى 15.5 سم.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لقياس مُقرَّب لأقرب وحدة، يكون الحدان أقل بنصف وحدة وأكثر بنصف وحدة من القيمة المعطاة.

23. 23.

    حلّل إلى عوامل بالكامل: 2x² + 7x + 3.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد عددين ناتج ضربهما 2 × 3 = 6 ومجموعهما 7: هما 6 و1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تقسيم الحد الأوسط: 2x² + 6x + x + 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل بالتجميع للحصول على (2x + 1)(x + 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق من التحليل بفكه مجدداً؛ يجب أن يطابق الحدان الأوسط والثابت التعبير الأصلي تماماً.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد عددين ناتج ضربهما 2 × 3 = 6 ومجموعهما 7: هما 6 و1.
    • تقسيم الحد الأوسط: 2x² + 6x + x + 3.
    • التحليل بالتجميع للحصول على (2x + 1)(x + 3).

    ملاحظة الفاحص: تحقق من التحليل بفكه مجدداً؛ يجب أن يطابق الحدان الأوسط والثابت التعبير الأصلي تماماً.

24. 24.

    بسّط بالكامل: (x² − 9)/(x² + x − 6).

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحليل البسط باستخدام فرق مربعين: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحليل المقام: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حذف العامل المشترك (x + 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الكسر المبسط (x − 3)/(x − 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: حلّل البسط والمقام بالكامل دائماً قبل محاولة حذف أي عامل مشترك.

    نقاط التصحيح

    • تحليل البسط باستخدام فرق مربعين: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
    • تحليل المقام: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2).
    • حذف العامل المشترك (x + 3).
    • تحديد الكسر المبسط (x − 3)/(x − 2).

    ملاحظة الفاحص: حلّل البسط والمقام بالكامل دائماً قبل محاولة حذف أي عامل مشترك.

25. 25.

    اجعل x موضوع الصيغة y = (3x + 2)/(x − 1).

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ضرب الطرفين في (x − 1): y(x − 1) = 3x + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: فك الطرف الأيسر: yx − y = 3x + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع كل حدود x في طرف واحد: yx − 3x = y + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إخراج x عاملاً مشتركاً: x(y − 3) = y + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد x = (y + 2)/(y − 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عندما يظهر الموضوع أكثر من مرة، اجمع كل الحدود التي تحتويه في طرف واحد قبل إخراجه عاملاً مشتركاً.

    نقاط التصحيح

    • ضرب الطرفين في (x − 1): y(x − 1) = 3x + 2.
    • فك الطرف الأيسر: yx − y = 3x + 2.
    • جمع كل حدود x في طرف واحد: yx − 3x = y + 2.
    • إخراج x عاملاً مشتركاً: x(y − 3) = y + 2.
    • تحديد x = (y + 2)/(y − 3).

    ملاحظة الفاحص: عندما يظهر الموضوع أكثر من مرة، اجمع كل الحدود التي تحتويه في طرف واحد قبل إخراجه عاملاً مشتركاً.

26. 26.

    ثمن سترة 68 بعد خصم 15%. احسب ثمنها الأصلي. جميع الأسعار بالعملة نفسها.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. ليكن الثمن الأصلي p. بعد حذف 15% يبقى 0.85p، لذا 0.85p = 68.
    2. اقسم على النسبة المتبقية بدلاً من إضافة 15% إلى الثمن المخفّض: p = 80.

    نقاط التصحيح

    • ثمن التخفيض يساوي 85% من الثمن الأصلي.
    • الثمن الأصلي = 68 / 0.85.
    • الثمن الأصلي 80.

    ملاحظة الفاحص: الخصم نسبة من الثمن الأصلي وليس من 68.

27. 27.

    ثمن تذكرة البالغ 12 والطفل 7. ثمن تسع تذاكر معاً 93. كوّن معادلتين متزامنتين وأوجد عدد كل نوع.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. تحصي الأولى الأشخاص وتجمع الثانية أثمانهم؛ يجب تحقق القيدين معاً.
    2. بحذف c نحصل على ستة بالغين. التحقق: 6 + 3 = 9 و6(12) + 3(7) = 93.

    نقاط التصحيح

    • ليكن a عدد البالغين وc عدد الأطفال؛ a + c = 9.
    • 12a + 7c = 93.
    • اطرح 7(a + c) = 63 فتحصل على 5a = 30، إذن a = 6.
    • c = 3: ست تذاكر بالغين وثلاث تذاكر أطفال.

    ملاحظة الفاحص: تحقق من العدد الكلي والثمن الكلي وليس من معادلة واحدة فقط.

28. 28.

    اكتب 0.272727... كسراً في أبسط صورة موضحاً طريقة جبرية.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. للدورة رقمان، لذا يطابق الضرب في 100 الجزأين الدوريين.
    2. يلغي الطرح الذيل اللانهائي تماماً. بسّط 27/99 بقسمة البسط والمقام على تسعة.

    نقاط التصحيح

    • لتكن x = 0.272727...؛ إذن 100x = 27.272727... .
    • اطرح فتحصل على 99x = 27.
    • x = 27/99 = 3/11.

    ملاحظة الفاحص: استخدم العدد الدوري الدقيق وليس تقريباً منتهياً مثل 0.27.

29. 29.

    حل x^2 - x - 6 < 0. اشرح لماذا لا يشمل الحل الطرفين.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم خط الأعداد عند الجذرين. عند x = 0 يكون التعبير -6، وخارج الجذرين يكون للعاملين الإشارة نفسها.
    2. الفترة المطلوبة مفتوحة لأن المطلوب قيمة أقل من الصفر تماماً.

    نقاط التصحيح

    • حلّل إلى (x - 3)(x + 2).
    • الجذران -2 و3.
    • تكون الدالة التربيعية المفتوحة للأعلى سالبة بين جذريها: -2 < x < 3.
    • عند كل طرف يساوي التعبير صفراً فلا يحقق المتباينة الصارمة.

    ملاحظة الفاحص: الجذور وحدها ليست حل المتباينة؛ حدّد الفترة الصحيحة.

30. 30.

    ضلعَا مستطيل x cm و(x + 3) cm ومساحته 40 cm^2. كوّن معادلة وأوجد أبعاده ثم احسب محيطه.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. اضرب طولي الضلعين لنمذجة المساحة ثم انقل الحدود إلى طرف واحد لحل المعادلة التربيعية.
    2. يصف الجذر الموجب فقط مستطيلاً فعلياً. تحقق المساحة 5(8) = 40، ويجمع المحيط الأضلاع الأربعة.

    نقاط التصحيح

    • x(x + 3) = 40.
    • x^2 + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5) = 0.
    • ارفض x = -8 لأن الطول موجب؛ x = 5.
    • الضلعان 5 cm و8 cm.
    • المحيط = 2(5 + 8) = 26 cm.

    ملاحظة الفاحص: لا تستخدم جذراً جبرياً سالباً طولاً فيزيائياً.

31. 31.

    ينمو استثمار بنسبة 8% في كل من سنتين ثم ينخفض 10%. احسب التغير الكلي إلى منزلتين عشريتين واشرح لماذا لا يصح 8 + 8 - 10.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. باستخدام رصيد ابتدائي 100 نحصل على 108 ثم 116.64 ثم 104.976.
    2. يتجاوز الرصيد النهائي الابتدائي بمقدار 4.976 من 100. تعبّر المعاملات عن التركيب وتغير أساس الانخفاض.

    نقاط التصحيح

    • معامل كل سنة نمو 1.08.
    • معامل الانخفاض 0.90.
    • المعامل المركب = 1.08^2(0.90) = 1.04976.
    • التغير الكلي زيادة 4.98% بعد تقريب 4.976%.
    • تؤثر التغيرات في أرصدة متعاقبة مختلفة وليس في المبلغ الأصلي نفسه.

    ملاحظة الفاحص: احتفظ بالمعامل كاملاً حتى تقريب النسبة النهائية.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.