الرياضيات

1. 1.

   للقيم 2 و4 و6 و8 تكرارات 3 و5 و4 و2 على الترتيب. احسب المتوسط الحسابي.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب مجموع التكرارات وهو 14. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المجموع الموزون 2×3 + 4×5 + 6×4 + 8×2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على المجموع الموزون 66. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على المتوسط 66/14 = 4.71 لثلاثة أرقام معنوية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اقسم المجموع الموزون على مجموع التكرارات، لا على عدد القيم المختلفة.

   نقاط التصحيح

   • حساب مجموع التكرارات وهو 14.
   • حساب المجموع الموزون 2×3 + 4×5 + 6×4 + 8×2.
   • الحصول على المجموع الموزون 66.
   • الحصول على المتوسط 66/14 = 4.71 لثلاثة أرقام معنوية.

   ملاحظة الفاحص: اقسم المجموع الموزون على مجموع التكرارات، لا على عدد القيم المختلفة.

2. 2.

   يحتوي كيس على 5 قطع حمراء و3 زرقاء. تُسحب قطعتان دون إرجاع. احسب احتمال أن تكون القطعتان زرقاوين.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام احتمال 3/8 للقطعة الزرقاء الأولى. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام احتمال 2/7 للقطعة الزرقاء الثانية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ضرب 3/8 في 2/7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 3/28. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: السحب دون إرجاع يغيّر البسط والمقام في السحب الثاني.

   نقاط التصحيح

   • استخدام احتمال 3/8 للقطعة الزرقاء الأولى.
   • استخدام احتمال 2/7 للقطعة الزرقاء الثانية.
   • ضرب 3/8 في 2/7.
   • الحصول على 3/28.

   ملاحظة الفاحص: السحب دون إرجاع يغيّر البسط والمقام في السحب الثاني.

3. 3.

   أوجد الوسيط والمدى الربيعي لمجموعة البيانات: 3، 7، 8، 12، 14، 15، 19، 22.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الوسيط كمتوسط القيمتين الوسطيتين (12، 14): الوسيط = 13. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الربيع الأدنى كوسيط النصف الأدنى (3، 7، 8، 12): Q1 = 7.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الربيع الأعلى كوسيط النصف الأعلى (14، 15، 19، 22): Q3 = 17. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المدى الربيعي = Q3 − Q1 = 9.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: مع عدد زوجي من البيانات، يُوجد الوسيط وكل ربيع بأخذ متوسط القيمتين الوسطيتين للنصف المعني.

   نقاط التصحيح

   • تحديد الوسيط كمتوسط القيمتين الوسطيتين (12، 14): الوسيط = 13.
   • تحديد الربيع الأدنى كوسيط النصف الأدنى (3، 7، 8، 12): Q1 = 7.5.
   • تحديد الربيع الأعلى كوسيط النصف الأعلى (14، 15، 19، 22): Q3 = 17.
   • تحديد المدى الربيعي = Q3 − Q1 = 9.5.

   ملاحظة الفاحص: مع عدد زوجي من البيانات، يُوجد الوسيط وكل ربيع بأخذ متوسط القيمتين الوسطيتين للنصف المعني.

4. 4.

   يُرمى نرد سداسي عادل مرتين. احسب احتمال أن يكون مجموع القراءتين 9.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: سرد النواتج التي مجموعها 9: (3,6)، (4,5)، (5,4)، (6,3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح وجود 4 نواتج مواتية من أصل 36 ناتجاً كلياً متساوي الاحتمال. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على احتمال = 4/36 = 1/9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: سرد النواتج بشكل منهجي كأزواج مرتبة لتجنب إغفال أو تكرار عدّ توليفة.

   نقاط التصحيح

   • سرد النواتج التي مجموعها 9: (3,6)، (4,5)، (5,4)، (6,3).
   • توضيح وجود 4 نواتج مواتية من أصل 36 ناتجاً كلياً متساوي الاحتمال.
   • الحصول على احتمال = 4/36 = 1/9.

   ملاحظة الفاحص: سرد النواتج بشكل منهجي كأزواج مرتبة لتجنب إغفال أو تكرار عدّ توليفة.

5. 5.

   استُطلع 50 طالباً بشأن عدد إخوتهم، مسجَّلة في جدول تكراري: 0 إخوة (12 طالباً)، 1 أخ (20)، 2 أخ (13)، 3 إخوة (5). احسب متوسط عدد الإخوة.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المجموع الموزون: (0×12) + (1×20) + (2×13) + (3×5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مجموع موزون = 61. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: القسمة على 50 للحصول على المتوسط = 1.22 أخاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اضرب كل قيمة بتكرارها قبل الجمع — لا تكتفِ بحساب متوسط القيم الخام 0 و1 و2 و3.

   نقاط التصحيح

   • حساب المجموع الموزون: (0×12) + (1×20) + (2×13) + (3×5).
   • الحصول على مجموع موزون = 61.
   • القسمة على 50 للحصول على المتوسط = 1.22 أخاً.

   ملاحظة الفاحص: اضرب كل قيمة بتكرارها قبل الجمع — لا تكتفِ بحساب متوسط القيم الخام 0 و1 و2 و3.

6. 6.

   حدثان A وB مستقلان، حيث P(A) = 0.3 وP(B) = 0.5. احسب P(A وB) وP(A أو B).

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام P(A وB) = P(A) × P(B) للأحداث المستقلة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(A وB) = 0.15. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A وB). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(A أو B) = 0.3 + 0.5 − 0.15 = 0.65. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتجنب طرح P(A وB) في صيغة 'أو' عدّ التداخل بين الحدثين مرتين.

   نقاط التصحيح

   • استخدام P(A وB) = P(A) × P(B) للأحداث المستقلة.
   • الحصول على P(A وB) = 0.15.
   • استخدام P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A وB).
   • الحصول على P(A أو B) = 0.3 + 0.5 − 0.15 = 0.65.

   ملاحظة الفاحص: يتجنب طرح P(A وB) في صيغة 'أو' عدّ التداخل بين الحدثين مرتين.

7. 7.

   يُظهر منحنى تكراري تراكمي لدرجات اختبار 80 طالباً أن الوسيط 62 والمئين التسعين 85. فسّر ما يخبرك به المئين التسعين عن توزيع الدرجات.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن 90% من الطلاب حصلوا على 85 أو أقل (بمعنى آخر، 10% حصلوا على أعلى من 85). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن هذا يشير إلى أن أعلى 10% من الطلاب حققوا درجات مرتفعة نسبياً مقارنة ببقية المجموعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يصف المئين دائماً نسبة البيانات الواقعة تحت (أو عند) تلك القيمة، وليس فوقها.

   نقاط التصحيح

   • توضيح أن 90% من الطلاب حصلوا على 85 أو أقل (بمعنى آخر، 10% حصلوا على أعلى من 85).
   • توضيح أن هذا يشير إلى أن أعلى 10% من الطلاب حققوا درجات مرتفعة نسبياً مقارنة ببقية المجموعة.

   ملاحظة الفاحص: يصف المئين دائماً نسبة البيانات الواقعة تحت (أو عند) تلك القيمة، وليس فوقها.

8. 8.

   يحتوي صندوق على 4 أقلام حمراء و6 زرقاء. يُختار قلم عشوائياً وتُسجَّل لونه، ويُعاد قبل اختيار قلم ثانٍ. لخّص نتائج شجرة الاحتمالات واحسب احتمال أن يكون القلمان بلون واحد.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح P(أحمر) = 4/10 = 0.4 وP(أزرق) = 6/10 = 0.6، دون تغيير في السحب الثاني لأن القلم يُعاد. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(كلاهما أحمر) = 0.4 × 0.4 = 0.16. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(كلاهما أزرق) = 0.6 × 0.6 = 0.36. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع النتيجتين المتنافيتين: P(اللون نفسه) = 0.16 + 0.36 = 0.52. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بما أن القلم يُعاد، يكون السحبان مستقلين، لذا تبقى الاحتمالات على الفرع الثاني من شجرة الاحتمالات كما هي في الأول.

   نقاط التصحيح

   • توضيح P(أحمر) = 4/10 = 0.4 وP(أزرق) = 6/10 = 0.6، دون تغيير في السحب الثاني لأن القلم يُعاد.
   • حساب P(كلاهما أحمر) = 0.4 × 0.4 = 0.16.
   • حساب P(كلاهما أزرق) = 0.6 × 0.6 = 0.36.
   • جمع النتيجتين المتنافيتين: P(اللون نفسه) = 0.16 + 0.36 = 0.52.

   ملاحظة الفاحص: بما أن القلم يُعاد، يكون السحبان مستقلين، لذا تبقى الاحتمالات على الفرع الثاني من شجرة الاحتمالات كما هي في الأول.

9. 9.

   لمجموعة من 6 أعداد متوسطها 10. أُضيف عدد سابع، 24، إلى المجموعة. احسب المتوسط الجديد.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المجموع الأصلي: 6 × 10 = 60. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إضافة العدد الجديد: 60 + 24 = 84. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: القسمة على العدد الجديد 7 للحصول على متوسط جديد 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ارجع دائماً إلى المجموع الكلي أولاً عند تغير مجموعة بيانات — لا يمكن تعديل المتوسط نفسه مباشرة دونه.

   نقاط التصحيح

   • حساب المجموع الأصلي: 6 × 10 = 60.
   • إضافة العدد الجديد: 60 + 24 = 84.
   • القسمة على العدد الجديد 7 للحصول على متوسط جديد 12.

   ملاحظة الفاحص: ارجع دائماً إلى المجموع الكلي أولاً عند تغير مجموعة بيانات — لا يمكن تعديل المتوسط نفسه مباشرة دونه.

10. 10.

    اشرح لماذا يكون المنوال متوسطاً أنسب من الوسط الحسابي لمجموعة بيانات تتضمن بيانات فئوية مثل اللون المفضل.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الوسط الحسابي يتطلب قيماً عددية يمكن جمعها وقسمتها، وهو ما لا تمتلكه البيانات الفئوية (مثل الألوان). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن المنوال يحدد ببساطة الفئة الأكثر تكراراً، وهو أمر ذو معنى وقابل للحساب للبيانات غير العددية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعتمد اختيار المتوسط على نوع البيانات: يعمل المنوال مع أي نوع بيانات، ويحتاج الوسيط بيانات مرتبة، ويحتاج الوسط الحسابي بيانات عددية.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن الوسط الحسابي يتطلب قيماً عددية يمكن جمعها وقسمتها، وهو ما لا تمتلكه البيانات الفئوية (مثل الألوان).
    • توضيح أن المنوال يحدد ببساطة الفئة الأكثر تكراراً، وهو أمر ذو معنى وقابل للحساب للبيانات غير العددية.

    ملاحظة الفاحص: يعتمد اختيار المتوسط على نوع البيانات: يعمل المنوال مع أي نوع بيانات، ويحتاج الوسيط بيانات مرتبة، ويحتاج الوسط الحسابي بيانات عددية.

11. 11.

    يبين الجدول الزمن (بالدقائق) الذي استغرقه 40 طالباً لحل لغز: 0 < t ≤ 10 (8 طلاب)، 10 < t ≤ 20 (15)، 20 < t ≤ 30 (12)، 30 < t ≤ 40 (5). احسب تقديراً لمتوسط الزمن، باستخدام منتصف كل فئة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد منتصفات الفئات 5 و15 و25 و35. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المجموع الموزون: (5×8) + (15×15) + (25×12) + (35×5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مجموع موزون = 740. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: القسمة على 40 للحصول على متوسط تقديري 18.5 دقيقة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُعد استخدام منتصف كل فئة تقديراً للمتوسط فقط، لأن القيم الفردية الدقيقة داخل كل فئة غير معروفة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد منتصفات الفئات 5 و15 و25 و35.
    • حساب المجموع الموزون: (5×8) + (15×15) + (25×12) + (35×5).
    • الحصول على مجموع موزون = 740.
    • القسمة على 40 للحصول على متوسط تقديري 18.5 دقيقة.

    ملاحظة الفاحص: يُعد استخدام منتصف كل فئة تقديراً للمتوسط فقط، لأن القيم الفردية الدقيقة داخل كل فئة غير معروفة.

12. 12.

    لمدرج تكراري عمود يغطي الفئة من 10 إلى 25 (بعرض 15)، وكثافته التكرارية 2.4. احسب تكرار هذه الفئة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الصيغة: التكرار = الكثافة التكرارية × عرض الفئة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 2.4 × 15. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد التكرار 36. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: في المدرج التكراري، تمثل مساحة كل عمود (الكثافة التكرارية × العرض) التكرار، وليس الارتفاع وحده — يهم هذا عندما تكون عروض الفئات غير متساوية.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الصيغة: التكرار = الكثافة التكرارية × عرض الفئة.
    • تعويض 2.4 × 15.
    • تحديد التكرار 36.

    ملاحظة الفاحص: في المدرج التكراري، تمثل مساحة كل عمود (الكثافة التكرارية × العرض) التكرار، وليس الارتفاع وحده — يهم هذا عندما تكون عروض الفئات غير متساوية.

13. 13.

    في صف من 30 طالباً، يدرس 18 طالباً الفرنسية و15 الإسبانية، ويدرس 8 اللغتين معاً. احسب عدد الطلاب الذين لا يدرسون أياً من اللغتين.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام عدد (فرنسية أو إسبانية) = عدد (فرنسية) + عدد (إسبانية) − عدد (كلتيهما) = 18 + 15 − 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على عدد (فرنسية أو إسبانية) = 25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد عدد من لا يدرس أياً منهما 30 − 25 = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: طرح التداخل مرة واحدة (وليس مرتين) هو الخطوة الأساسية كلما اشتركت مجموعتان في أفراد مشتركين — يسهّل مخطط فن رؤية ذلك بصرياً.

    نقاط التصحيح

    • استخدام عدد (فرنسية أو إسبانية) = عدد (فرنسية) + عدد (إسبانية) − عدد (كلتيهما) = 18 + 15 − 8.
    • الحصول على عدد (فرنسية أو إسبانية) = 25.
    • تحديد عدد من لا يدرس أياً منهما 30 − 25 = 5.

    ملاحظة الفاحص: طرح التداخل مرة واحدة (وليس مرتين) هو الخطوة الأساسية كلما اشتركت مجموعتان في أفراد مشتركين — يسهّل مخطط فن رؤية ذلك بصرياً.

14. 14.

    باستخدام الصف في السؤال السابق (18 يدرسون الفرنسية، و15 الإسبانية، و8 اللغتين معاً)، اختير طالب عشوائياً من دارسي الفرنسية. احسب احتمال أن يدرس هذا الطالب الإسبانية أيضاً.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الاحتمال بأنه عدد دارسي اللغتين مقسوماً على عدد دارسي الفرنسية: 8/18. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى 4/9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجعل قصر الاختيار العشوائي على مجموعة فرعية محددة (هنا، دارسو الفرنسية) هذا احتمالاً شرطياً بالضبط، مع حجم تلك المجموعة الفرعية كمقام.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الاحتمال بأنه عدد دارسي اللغتين مقسوماً على عدد دارسي الفرنسية: 8/18.
    • التبسيط إلى 4/9.

    ملاحظة الفاحص: يجعل قصر الاختيار العشوائي على مجموعة فرعية محددة (هنا، دارسو الفرنسية) هذا احتمالاً شرطياً بالضبط، مع حجم تلك المجموعة الفرعية كمقام.

15. 15.

    يُقذف عملة متحيزة 200 مرة وتظهر الصورة 140 مرة. (أ) احسب التكرار النسبي للصورة. (ب) اذكر أفضل تقدير لاحتمال ظهور الصورة في القذفة التالية.

    [2 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب التكرار النسبي 140/200 = 0.7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن أفضل تقدير للاحتمال هو أيضاً 0.7، باستخدام التكرار النسبي من عدد كبير من التجارب. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لجسم متحيز، يُعد التكرار النسبي من تجارب كثيرة الطريقة الوحيدة لتقدير الاحتمال — لا يمكن افتراض تساوي الاحتمالات كما في عملة عادلة.

    نقاط التصحيح

    • حساب التكرار النسبي 140/200 = 0.7.
    • توضيح أن أفضل تقدير للاحتمال هو أيضاً 0.7، باستخدام التكرار النسبي من عدد كبير من التجارب.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لجسم متحيز، يُعد التكرار النسبي من تجارب كثيرة الطريقة الوحيدة لتقدير الاحتمال — لا يمكن افتراض تساوي الاحتمالات كما في عملة عادلة.

16. 16.

    يبين جدول تكراري تراكمي عدد الكتب التي قرأها 60 طالباً في عام: ≤5 كتب (10 طلاب)، ≤10 كتب (28)، ≤15 كتاباً (48)، ≤20 كتاباً (60). استخدم الاستيفاء الخطي لتقدير وسيط عدد الكتب المقروءة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد موضع الوسيط بأنه القيمة الثلاثون (60 ÷ 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن القيمة الثلاثين تقع ضمن فئة 10-15 كتاباً، لأن التكرار التراكمي يرتفع من 28 إلى 48 خلالها. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الاستيفاء الخطي: الوسيط ≈ 10 + [(30 − 28)/20] × 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الوسيط التقديري 10.5 كتاباً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يفترض الاستيفاء الخطي أن القيم موزعة بالتساوي داخل الفئة — فيعطي تقديراً معقولاً من بيانات مجمّعة، لا قيمة دقيقة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد موضع الوسيط بأنه القيمة الثلاثون (60 ÷ 2).
    • تحديد أن القيمة الثلاثين تقع ضمن فئة 10-15 كتاباً، لأن التكرار التراكمي يرتفع من 28 إلى 48 خلالها.
    • استخدام الاستيفاء الخطي: الوسيط ≈ 10 + [(30 − 28)/20] × 5.
    • تحديد الوسيط التقديري 10.5 كتاباً.

    ملاحظة الفاحص: يفترض الاستيفاء الخطي أن القيم موزعة بالتساوي داخل الفئة — فيعطي تقديراً معقولاً من بيانات مجمّعة، لا قيمة دقيقة.

17. 17.

    استُطلع 60 شخصاً بشأن إعجابهم برياضة وجنسهم: 24 ذكراً معجبون، و6 ذكور غير معجبين، و18 أنثى معجبات، و12 أنثى غير معجبات. احسب احتمال أن يكون الشخص المختار عشوائياً من الاستطلاع أنثى ومعجبة بالرياضة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب العدد الكلي للمستطلعين: 24 + 6 + 18 + 12 = 60. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد عدد الإناث المعجبات بالرياضة بأنه 18. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الاحتمال 18/60 = 3/10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لشرط مركب ('و')، اقرأ الخلية الواحدة من الجدول ثنائي الاتجاه حيث يتحقق كلا الشرطين، ثم اقسم على المجموع الكلي.

    نقاط التصحيح

    • حساب العدد الكلي للمستطلعين: 24 + 6 + 18 + 12 = 60.
    • تحديد عدد الإناث المعجبات بالرياضة بأنه 18.
    • تحديد الاحتمال 18/60 = 3/10.

    ملاحظة الفاحص: لشرط مركب ('و')، اقرأ الخلية الواحدة من الجدول ثنائي الاتجاه حيث يتحقق كلا الشرطين، ثم اقسم على المجموع الكلي.

18. 18.

    يحتوي كيس على 4 كرات خضراء و6 صفراء. تُسحب ثلاث كرات عشوائياً دون إرجاع. احسب احتمال أن تكون الكرات الثلاث جميعها صفراء.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد احتمال أن تكون الكرة الأولى صفراء 6/10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد احتمالي السحبتين الثانية والثالثة 5/9 و4/8، مع تعديل المجموع الكلي في كل مرة لعدم الإرجاع. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الضرب والتبسيط 6/10 × 5/9 × 4/8 للحصول على 1/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: دون إرجاع، ينقص كل من عدد النواتج المواتية والعدد الكلي المتبقي بمقدار واحد بعد كل سحب.

    نقاط التصحيح

    • تحديد احتمال أن تكون الكرة الأولى صفراء 6/10.
    • تحديد احتمالي السحبتين الثانية والثالثة 5/9 و4/8، مع تعديل المجموع الكلي في كل مرة لعدم الإرجاع.
    • الضرب والتبسيط 6/10 × 5/9 × 4/8 للحصول على 1/6.

    ملاحظة الفاحص: دون إرجاع، ينقص كل من عدد النواتج المواتية والعدد الكلي المتبقي بمقدار واحد بعد كل سحب.

19. 19.

    يُظهر مخطط انتشار ارتباطاً موجباً قوياً بين ساعات الدراسة ودرجة الاختبار، بناءً على بيانات طلاب درسوا بين 2 و10 ساعات. اذكر معنى الارتباط الموجب القوي، واشرح سبباً واحداً يجعل استخدام خط أفضل ملاءمة للتنبؤ بدرجة طالب درس 25 ساعة غير موثوق.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن الارتباط الموجب القوي يعني أنه مع زيادة أحد المتغيرين (ساعات الدراسة)، يميل المتغير الآخر (درجة الاختبار) للزيادة أيضاً، متبعاً نمطاً خطياً قريباً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن 25 ساعة تقع بعيداً خارج مدى البيانات الأصلي (2 إلى 10 ساعات)، لذا فإن الاستقراء إلى هذا الحد غير موثوق لأن العلاقة قد لا تستمر بالطريقة نفسها خارج البيانات المرصودة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُعد استخدام خط أفضل ملاءمة للتنبؤ بعيداً خارج مدى البيانات الأصلي (الاستقراء) أقل موثوقية دائماً من التنبؤ ضمن ذلك المدى (الاستيفاء).

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن الارتباط الموجب القوي يعني أنه مع زيادة أحد المتغيرين (ساعات الدراسة)، يميل المتغير الآخر (درجة الاختبار) للزيادة أيضاً، متبعاً نمطاً خطياً قريباً.
    • توضيح أن 25 ساعة تقع بعيداً خارج مدى البيانات الأصلي (2 إلى 10 ساعات)، لذا فإن الاستقراء إلى هذا الحد غير موثوق لأن العلاقة قد لا تستمر بالطريقة نفسها خارج البيانات المرصودة.

    ملاحظة الفاحص: يُعد استخدام خط أفضل ملاءمة للتنبؤ بعيداً خارج مدى البيانات الأصلي (الاستقراء) أقل موثوقية دائماً من التنبؤ ضمن ذلك المدى (الاستيفاء).

20. 20.

    لمخطط الصندوق وذيل الحد الأدنى 4، والربيع الأدنى 10، والوسيط 15، والربيع الأعلى 22، والحد الأعلى 30. احسب المدى الربيعي، واذكر ما إذا كان يمكن أن تنتمي قيمة جديدة 35 لمجموعة البيانات نفسها، مع ذكر السبب.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المدى الربيعي بأنه الربيع الأعلى − الربيع الأدنى = 22 − 10 = 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن 35 لا يمكن أن تنتمي لمجموعة البيانات المسجَّلة هذه، لأنها تتجاوز الحد الأعلى المعطى وهو 30. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمثل الحدان الأعلى والأدنى في مخطط الصندوق أعلى وأدنى قيمتين مسجَّلتين فعلياً في البيانات — لا يمكن لأي قيمة في تلك البيانات أن تقع خارجهما.

    نقاط التصحيح

    • حساب المدى الربيعي بأنه الربيع الأعلى − الربيع الأدنى = 22 − 10 = 12.
    • توضيح أن 35 لا يمكن أن تنتمي لمجموعة البيانات المسجَّلة هذه، لأنها تتجاوز الحد الأعلى المعطى وهو 30.

    ملاحظة الفاحص: يمثل الحدان الأعلى والأدنى في مخطط الصندوق أعلى وأدنى قيمتين مسجَّلتين فعلياً في البيانات — لا يمكن لأي قيمة في تلك البيانات أن تقع خارجهما.

21. 21.

    في كيس ثلاث قطع حمراء وقطعتان زرقاوان. تُسحب قطعتان دون إرجاع. أوجد احتمال كونهما حمراوين.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يعتمد السحب الثاني على الأول لأن القطعة المسحوبة لا تُعاد.
    2. اتبع مسار حمراء ثم حمراء: ينقص عدد الحمراء والعدد الكلي بعد السحب الأول.

    نقاط التصحيح

    • احتمال الحمراء أولاً = 3/5.
    • بعد الحمراء، احتمال حمراء ثانية = 2/4.
    • اضرب: (3/5)(2/4) = 3/10.

    ملاحظة الفاحص: استخدام 3/5 للسحبين يفترض الإرجاع خطأً.

22. 22.

    في كيس أربع قطع حمراء وثلاث زرقاء. تُسحب قطعتان دون إرجاع. إذا عُلم أن واحدة على الأقل زرقاء، أوجد احتمال كونهما زرقاوين.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يحذف الشرط نتائج حمراء-حمراء فقط فيبقى فضاء عينة أصغر.
    2. من الأزواج غير المرتبة المتساوية الاحتمال يوجد 21 إجمالاً و6 حمراء-حمراء و3 زرقاء-زرقاء، فيكون 3/(21 - 6) = 1/5 تحققاً مستقلاً.

    نقاط التصحيح

    • P(كلتاهما زرقاء) = (3/7)(2/6) = 1/7.
    • P(كلتاهما حمراء) = (4/7)(3/6) = 2/7.
    • P(واحدة زرقاء على الأقل) = 1 - 2/7 = 5/7.
    • حدث الزرقاوين ضمن حدث واحدة زرقاء على الأقل، لذا اقسم الاحتمالين.
    • الاحتمال المشروط = (1/7)/(5/7) = 1/5.

    ملاحظة الفاحص: واحدة زرقاء على الأقل يشمل الزرقاوين ولا يعني واحدة فقط.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.