الرياضيات AA: المستوى العالي
التفاضل والتكامل — الموضوع 5
- 1.
اشتق الدالة y = x²·e^(3x) باستخدام قاعدة الجداء.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = x²·e^(3x) باستخدام قاعدة الجداء.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
استخدم التكامل بالتعويض مع u = x² + 1 لإيجاد ∫2x(x² + 1)⁵ dx.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم التكامل بالتعويض مع u = x² + 1 لإيجاد ∫2x(x² + 1)⁵ dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 5.
اشتق الدالة y = ln(x)/x باستخدام قاعدة القسمة، ثم أوجد إحداثي x للنقطة الساكنة على المنحنى.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = ln(x)/x باستخدام قاعدة القسمة، ثم أوجد إحداثي x للنقطة الساكنة على المنحنى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
يمر المنحنى x² + y² = 25 بالنقطة (3, 4). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى x² + y² = 25 بالنقطة (3, 4). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
يُنفَخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت مقداره 100 cm³/s. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما r = 5 cm. (V = (4/3)πr³)
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنفَخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت مقداره 100 cm³/s. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما r = 5 cm. (V = (4/3)πr³)» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
حل المعادلة التفاضلية dy/dx = xy، علماً أن y = 2 عند x = 0.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التفاضلية dy/dx = xy، علماً أن y = 2 عند x = 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 13.
استخدم التكامل بالتجزئة لإيجاد ∫x cos x dx.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم التكامل بالتجزئة لإيجاد ∫x cos x dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 15.
أوجد متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = eˣ حتى الحد في x³ متضمناً.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = eˣ حتى الحد في x³ متضمناً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + …» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
احسب lim(x→0) (sin x)/x باستخدام قاعدة لوبيتال، مع التحقق من أن النهاية بصيغة 0/0 غير المحددة ابتداءً.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب lim(x→0) (sin x)/x باستخدام قاعدة لوبيتال، مع التحقق من أن النهاية بصيغة 0/0 غير المحددة ابتداءً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
لمنحنى y = x³ − 6x² + 9x + 1 نقطتان ساكنتان. أوجد إحداثيي x لهما، واستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد طبيعة كل منهما.
[5 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمنحنى y = x³ − 6x² + 9x + 1 نقطتان ساكنتان. أوجد إحداثيي x لهما، واستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد طبيعة كل منهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 21.
احسب المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² ومحور x.
[5 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² ومحور x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 23.
تُدار المنطقة المحصورة بـ y = x² ومحور x والخط x = 2 دورة كاملة 360° حول محور x. احسب حجم المجسم الناتج، باستخدام V = π∫y² dx.
[5 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُدار المنطقة المحصورة بـ y = x² ومحور x والخط x = 2 دورة كاملة 360° حول محور x. احسب حجم المجسم الناتج، باستخدام V = π∫y² dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر V = π∫y² dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 25.
اشتق y = arctan(3x)، باستخدام النتيجة القياسية d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق y = arctan(3x)، باستخدام النتيجة القياسية d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 27.
بالنظر إلى g(x) = ∫₁ˣ (t² + 1) dt، استخدم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد g′(x)، ومنه احسب g′(2).
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى g(x) = ∫₁ˣ (t² + 1) dt، استخدم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد g′(x)، ومنه احسب g′(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
يدخل الماء خزان إعادة تدوير بمعدل 12 L min⁻¹. عند الزمن t بالدقائق يحتوي الخزان على V لتراً، ويخرج الماء بمعدل 0.08V L min⁻¹. في البداية V = 50. (أ) اكتب معادلة تفاضلية لـ V. (ب) أوجد حجم الاتزان. (ج) أوجد V بدلالة t. (د) حدد أول زمن يصل فيه V إلى 120 L.
[5 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يدخل الماء خزان إعادة تدوير بمعدل 12 L min⁻¹. عند الزمن t بالدقائق يحتوي الخزان على V لتراً، ويخرج الماء بمعدل 0.08V L min⁻¹. في البداية V = 50. (أ) اكتب معادلة تفاضلية لـ V. (ب) أوجد حجم الاتزان. (ج) أوجد V بدلالة t. (د) حدد أول زمن يصل فيه V إلى 120 L.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يكتب dV/dt = 12 − 0.08V.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]