الرياضيات AA: المستوى العالي

1. 1.

   اشتق الدالة y = x²·e^(3x) باستخدام قاعدة الجداء.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد u′ = 2x وv′ = 3e^(3x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض في قاعدة الجداء. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على dy/dx = 2xe^(3x) + 3x²e^(3x)، ويمكن تحليلها إلى xe^(3x)(2 + 3x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحليل الإجابة النهائية ممارسة جيدة لكنها ليست مطلوبة دائماً؛ تحقق من فعل السؤال لمعرفة المطلوب.

   نقاط التصحيح

   • كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x).
   • إيجاد u′ = 2x وv′ = 3e^(3x).
   • التعويض في قاعدة الجداء.
   • الحصول على dy/dx = 2xe^(3x) + 3x²e^(3x)، ويمكن تحليلها إلى xe^(3x)(2 + 3x).

   ملاحظة الفاحص: تحليل الإجابة النهائية ممارسة جيدة لكنها ليست مطلوبة دائماً؛ تحقق من فعل السؤال لمعرفة المطلوب.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = x²·e^(3x) باستخدام قاعدة الجداء.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 2x وv′ = 3e^(3x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التعويض في قاعدة الجداء. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dy/dx = 2xe^(3x) + 3x²e^(3x)، ويمكن تحليلها إلى xe^(3x)(2 + 3x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة الجداء dy/dx = u′v + uv′ مع u = x²، v = e^(3x).
   • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 2x وv′ = 3e^(3x).
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض في قاعدة الجداء.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dy/dx = 2xe^(3x) + 3x²e^(3x)، ويمكن تحليلها إلى xe^(3x)(2 + 3x).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   استخدم التكامل بالتعويض مع u = x² + 1 لإيجاد ∫2x(x² + 1)⁵ dx.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة كتابة التكامل بدلالة u فقط: ∫u⁵ du. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على u⁶/6 + C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض العكسي عن u. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الإجابة النهائية (x² + 1)⁶/6 + C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: إدراك أن 2x dx تساوي du بالضبط هو ما يجعل هذا التعويض ناجحاً؛ تحقق دائماً من أن المشتقة تطابق عاملاً موجوداً.

   نقاط التصحيح

   • كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx.
   • إعادة كتابة التكامل بدلالة u فقط: ∫u⁵ du.
   • التكامل للحصول على u⁶/6 + C.
   • التعويض العكسي عن u.
   • كتابة الإجابة النهائية (x² + 1)⁶/6 + C.

   ملاحظة الفاحص: إدراك أن 2x dx تساوي du بالضبط هو ما يجعل هذا التعويض ناجحاً؛ تحقق دائماً من أن المشتقة تطابق عاملاً موجوداً.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم التكامل بالتعويض مع u = x² + 1 لإيجاد ∫2x(x² + 1)⁵ dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إعادة كتابة التكامل بدلالة u فقط: ∫u⁵ du. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على u⁶/6 + C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي عن u. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابة النهائية (x² + 1)⁶/6 + C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة u = x² + 1 وإيجاد du/dx = 2x، لذا du = 2x dx.
   • يحدد المتطلب الناقص: إعادة كتابة التكامل بدلالة u فقط: ∫u⁵ du.
   • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على u⁶/6 + C.
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي عن u.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابة النهائية (x² + 1)⁶/6 + C.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   اشتق الدالة y = ln(x)/x باستخدام قاعدة القسمة، ثم أوجد إحداثي x للنقطة الساكنة على المنحنى.

   [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد u′ = 1/x وv′ = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على dy/dx = (x·(1/x) − ln(x)·1)/x². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط البسط إلى 1 − ln(x)، فتصبح dy/dx = (1 − ln(x))/x². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة البسط بالصفر: 1 − ln(x) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على x = e. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يساوي الكسر صفراً فقط عندما يساوي بسطه صفراً (مع مقام غير صفري)؛ حل معادلة البسط، لا تعبير المشتقة كاملاً.

   نقاط التصحيح

   • كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x.
   • إيجاد u′ = 1/x وv′ = 1.
   • التعويض للحصول على dy/dx = (x·(1/x) − ln(x)·1)/x².
   • تبسيط البسط إلى 1 − ln(x)، فتصبح dy/dx = (1 − ln(x))/x².
   • مساواة البسط بالصفر: 1 − ln(x) = 0.
   • الحل للحصول على x = e.

   ملاحظة الفاحص: يساوي الكسر صفراً فقط عندما يساوي بسطه صفراً (مع مقام غير صفري)؛ حل معادلة البسط، لا تعبير المشتقة كاملاً.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق الدالة y = ln(x)/x باستخدام قاعدة القسمة، ثم أوجد إحداثي x للنقطة الساكنة على المنحنى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 1/x وv′ = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على dy/dx = (x·(1/x) − ln(x)·1)/x². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط البسط إلى 1 − ln(x)، فتصبح dy/dx = (1 − ln(x))/x². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: مساواة البسط بالصفر: 1 − ln(x) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على x = e. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة قاعدة القسمة dy/dx = (u′v − uv′)/v² مع u = ln(x)، v = x.
   • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 1/x وv′ = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على dy/dx = (x·(1/x) − ln(x)·1)/x².
   • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط البسط إلى 1 − ln(x)، فتصبح dy/dx = (1 − ln(x))/x².
   • يحدد المتطلب الناقص: مساواة البسط بالصفر: 1 − ln(x) = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على x = e.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   يمر المنحنى x² + y² = 25 بالنقطة (3, 4). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب لعزل dy/dx: dy/dx = −x/y. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 3، y = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على dy/dx = −3/4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: في كل مرة تُشتق فيها y بالنسبة لـx، تسهم قاعدة السلسلة بعامل dy/dx — وهذه هي الفكرة الكاملة للاشتقاق الضمني.

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0.
   • إعادة الترتيب لعزل dy/dx: dy/dx = −x/y.
   • تعويض x = 3، y = 4.
   • الحصول على dy/dx = −3/4.

   ملاحظة الفاحص: في كل مرة تُشتق فيها y بالنسبة لـx، تسهم قاعدة السلسلة بعامل dy/dx — وهذه هي الفكرة الكاملة للاشتقاق الضمني.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر المنحنى x² + y² = 25 بالنقطة (3, 4). استخدم الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx عند هذه النقطة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب لعزل dy/dx: dy/dx = −x/y. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 3، y = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dy/dx = −3/4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق الطرفين بالنسبة لـx، مع معاملة y كدالة في x: 2x + 2y(dy/dx) = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب لعزل dy/dx: dy/dx = −x/y.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 3، y = 4.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على dy/dx = −3/4.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   يُنفَخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت مقداره 100 cm³/s. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما r = 5 cm. (V = (4/3)πr³)

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض dV/dt = 100 وr = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 100 = 4π(25)(dr/dt) = 100π(dr/dt). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على dr/dt = 1/π cm/s (≈ 0.318 cm/s). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تربط مسائل المعدلات المرتبطة دائماً بين معدلين عبر قاعدة السلسلة بواسطة متغير مشترك والزمن — اشتق الصيغة الهندسية بالنسبة لـt قبل تعويض أي أرقام.

   نقاط التصحيح

   • اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt).
   • تعويض dV/dt = 100 وr = 5.
   • الحصول على 100 = 4π(25)(dr/dt) = 100π(dr/dt).
   • الحل للحصول على dr/dt = 1/π cm/s (≈ 0.318 cm/s).

   ملاحظة الفاحص: تربط مسائل المعدلات المرتبطة دائماً بين معدلين عبر قاعدة السلسلة بواسطة متغير مشترك والزمن — اشتق الصيغة الهندسية بالنسبة لـt قبل تعويض أي أرقام.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنفَخ بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل ثابت مقداره 100 cm³/s. أوجد معدل تزايد نصف القطر عندما r = 5 cm. (V = (4/3)πr³)» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض dV/dt = 100 وr = 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 100 = 4π(25)(dr/dt) = 100π(dr/dt). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على dr/dt = 1/π cm/s (≈ 0.318 cm/s). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتقاق V = (4/3)πr³ بالنسبة لـt باستخدام قاعدة السلسلة: dV/dt = 4πr²(dr/dt).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض dV/dt = 100 وr = 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 100 = 4π(25)(dr/dt) = 100π(dr/dt).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على dr/dt = 1/π cm/s (≈ 0.318 cm/s).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    حل المعادلة التفاضلية dy/dx = xy، علماً أن y = 2 عند x = 0.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكامل الطرفين: ln|y| = x²/2 + C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: أخذ الأس لكلا الطرفين للحصول على y = Ae^(x²/2)، حيث A = e^C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض الشرط الابتدائي x = 0، y = 2 لإيجاد A = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحل الخاص y = 2e^(x²/2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: طبّق الشرط الابتدائي دائماً بعد إيجاد الحل العام لا قبله — فهذا يحدد ثابت التكامل ويعطي الحل الخاص المطلوب بالتحديد.

    نقاط التصحيح

    • فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx.
    • تكامل الطرفين: ln|y| = x²/2 + C.
    • أخذ الأس لكلا الطرفين للحصول على y = Ae^(x²/2)، حيث A = e^C.
    • تعويض الشرط الابتدائي x = 0، y = 2 لإيجاد A = 2.
    • كتابة الحل الخاص y = 2e^(x²/2).

    ملاحظة الفاحص: طبّق الشرط الابتدائي دائماً بعد إيجاد الحل العام لا قبله — فهذا يحدد ثابت التكامل ويعطي الحل الخاص المطلوب بالتحديد.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة التفاضلية dy/dx = xy، علماً أن y = 2 عند x = 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تكامل الطرفين: ln|y| = x²/2 + C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: أخذ الأس لكلا الطرفين للحصول على y = Ae^(x²/2)، حيث A = e^C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تعويض الشرط الابتدائي x = 0، y = 2 لإيجاد A = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل الخاص y = 2e^(x²/2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: فصل المتغيرات: (1/y) dy = x dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكامل الطرفين: ln|y| = x²/2 + C.
    • يحدد المتطلب الناقص: أخذ الأس لكلا الطرفين للحصول على y = Ae^(x²/2)، حيث A = e^C.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض الشرط الابتدائي x = 0، y = 2 لإيجاد A = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل الخاص y = 2e^(x²/2).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    استخدم التكامل بالتجزئة لإيجاد ∫x cos x dx.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختيار u = x، dv = cos x dx، ومنه du = dx وv = sin x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض في الصيغة: x sin x − ∫sin x dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكامل الحد المتبقي: −∫sin x dx = cos x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الإجابة النهائية x sin x + cos x + C. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اختر u بحيث يصبح أبسط عند اشتقاقه (هنا x تصبح 1)؛ اختياره بالعكس يجعل التكامل الناتج أصعب لا أسهل.

    نقاط التصحيح

    • كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du.
    • اختيار u = x، dv = cos x dx، ومنه du = dx وv = sin x.
    • التعويض في الصيغة: x sin x − ∫sin x dx.
    • تكامل الحد المتبقي: −∫sin x dx = cos x.
    • كتابة الإجابة النهائية x sin x + cos x + C.

    ملاحظة الفاحص: اختر u بحيث يصبح أبسط عند اشتقاقه (هنا x تصبح 1)؛ اختياره بالعكس يجعل التكامل الناتج أصعب لا أسهل.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم التكامل بالتجزئة لإيجاد ∫x cos x dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: اختيار u = x، dv = cos x dx، ومنه du = dx وv = sin x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التعويض في الصيغة: x sin x − ∫sin x dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تكامل الحد المتبقي: −∫sin x dx = cos x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابة النهائية x sin x + cos x + C. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة التكامل بالتجزئة ∫u dv = uv − ∫v du.
    • يحدد المتطلب الناقص: اختيار u = x، dv = cos x dx، ومنه du = dx وv = sin x.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض في الصيغة: x sin x − ∫sin x dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكامل الحد المتبقي: −∫sin x dx = cos x.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابة النهائية x sin x + cos x + C.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    أوجد متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = eˣ حتى الحد في x³ متضمناً.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + … اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ملاحظة أن كل مشتقات eˣ تساوي eˣ، لذا f(0) = f′(0) = f″(0) = f‴(0) = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض هذه القيم في صيغة المتسلسلة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المتسلسلة 1 + x + x²/2 + x³/6 (أو ما يعادلها x²/2! + x³/3!). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ eˣ، تساوي كل مشتقة الدالة نفسها، وهذا بالضبط سبب أن كل معامل في متسلسلة ماكلورين لها هو ببساطة 1/n! — لا يمكن حدوث أخطاء اشتقاق إذا تذكرت ذلك.

    نقاط التصحيح

    • كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + …
    • ملاحظة أن كل مشتقات eˣ تساوي eˣ، لذا f(0) = f′(0) = f″(0) = f‴(0) = 1.
    • تعويض هذه القيم في صيغة المتسلسلة.
    • كتابة المتسلسلة 1 + x + x²/2 + x³/6 (أو ما يعادلها x²/2! + x³/3!).

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ eˣ، تساوي كل مشتقة الدالة نفسها، وهذا بالضبط سبب أن كل معامل في متسلسلة ماكلورين لها هو ببساطة 1/n! — لا يمكن حدوث أخطاء اشتقاق إذا تذكرت ذلك.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = eˣ حتى الحد في x³ متضمناً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + …» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + … قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن كل مشتقات eˣ تساوي eˣ، لذا f(0) = f′(0) = f″(0) = f‴(0) = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض هذه القيم في صيغة المتسلسلة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المتسلسلة 1 + x + x²/2 + x³/6 (أو ما يعادلها x²/2! + x³/3!). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة متسلسلة ماكلورين f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + …
    • يحدد المتطلب الناقص: ملاحظة أن كل مشتقات eˣ تساوي eˣ، لذا f(0) = f′(0) = f″(0) = f‴(0) = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض هذه القيم في صيغة المتسلسلة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المتسلسلة 1 + x + x²/2 + x³/6 (أو ما يعادلها x²/2! + x³/3!).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    احسب lim(x→0) (sin x)/x باستخدام قاعدة لوبيتال، مع التحقق من أن النهاية بصيغة 0/0 غير المحددة ابتداءً.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. ابنِ حكماً مدعوماً: حدّد الادعاء واستخدم أدلة السؤال وناقش قيداً أو بديلاً مناسباً، واجعل الخلاصة مبنية على الأدلة. قد توجد أكثر من إجابة قابلة للدفاع عنها.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر قاعدة لوبيتال: لصيغة 0/0، lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتقاق البسط والمقام كلاً على حدة: f′(x) = cos x، g′(x) = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 0 في cos x/1 للحصول على النهاية = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تنطبق قاعدة لوبيتال إلا بعد التحقق من أن النهاية بصيغة غير محددة فعلاً (0/0 أو ∞/∞) — يعطي تطبيقها على نهاية تُحسب مباشرة إجابة خاطئة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة.
    • ذكر قاعدة لوبيتال: لصيغة 0/0، lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x).
    • اشتقاق البسط والمقام كلاً على حدة: f′(x) = cos x، g′(x) = 1.
    • تعويض x = 0 في cos x/1 للحصول على النهاية = 1.

    ملاحظة الفاحص: لا تنطبق قاعدة لوبيتال إلا بعد التحقق من أن النهاية بصيغة غير محددة فعلاً (0/0 أو ∞/∞) — يعطي تطبيقها على نهاية تُحسب مباشرة إجابة خاطئة.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب lim(x→0) (sin x)/x باستخدام قاعدة لوبيتال، مع التحقق من أن النهاية بصيغة 0/0 غير المحددة ابتداءً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: ذكر قاعدة لوبيتال: لصيغة 0/0، lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: اشتقاق البسط والمقام كلاً على حدة: f′(x) = cos x، g′(x) = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 0 في cos x/1 للحصول على النهاية = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن التعويض المباشر بـ x = 0 يعطي sin(0)/0 = 0/0، وهي صيغة غير محددة.
    • يحدد المتطلب الناقص: ذكر قاعدة لوبيتال: لصيغة 0/0، lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x).
    • يحدد المتطلب الناقص: اشتقاق البسط والمقام كلاً على حدة: f′(x) = cos x، g′(x) = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 0 في cos x/1 للحصول على النهاية = 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    لمنحنى y = x³ − 6x² + 9x + 1 نقطتان ساكنتان. أوجد إحداثيي x لهما، واستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد طبيعة كل منهما.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة dy/dx بالصفر والتحليل: 3(x − 1)(x − 3) = 0، ما يعطي x = 1 وx = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد المشتقة الثانية d²y/dx² = 6x − 12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التقييم عند x = 1: d²y/dx² = −6 < 0، والاستنتاج نقطة عظمى محلية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التقييم عند x = 3: d²y/dx² = 6 > 0، والاستنتاج نقطة صغرى محلية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تؤكد المشتقة الثانية السالبة عند نقطة ساكنة نقطة عظمى محلية (تقعر المنحنى للأسفل)؛ وتؤكد القيمة الموجبة نقطة صغرى محلية (تقعر للأعلى) — هذا أسرع من جدول تغير الإشارة عندما يسهل تقييم المشتقة الثانية.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9.
    • مساواة dy/dx بالصفر والتحليل: 3(x − 1)(x − 3) = 0، ما يعطي x = 1 وx = 3.
    • إيجاد المشتقة الثانية d²y/dx² = 6x − 12.
    • التقييم عند x = 1: d²y/dx² = −6 < 0، والاستنتاج نقطة عظمى محلية.
    • التقييم عند x = 3: d²y/dx² = 6 > 0، والاستنتاج نقطة صغرى محلية.

    ملاحظة الفاحص: تؤكد المشتقة الثانية السالبة عند نقطة ساكنة نقطة عظمى محلية (تقعر المنحنى للأسفل)؛ وتؤكد القيمة الموجبة نقطة صغرى محلية (تقعر للأعلى) — هذا أسرع من جدول تغير الإشارة عندما يسهل تقييم المشتقة الثانية.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمنحنى y = x³ − 6x² + 9x + 1 نقطتان ساكنتان. أوجد إحداثيي x لهما، واستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد طبيعة كل منهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: مساواة dy/dx بالصفر والتحليل: 3(x − 1)(x − 3) = 0، ما يعطي x = 1 وx = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد المشتقة الثانية d²y/dx² = 6x − 12. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند x = 1: d²y/dx² = −6 < 0، والاستنتاج نقطة عظمى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند x = 3: d²y/dx² = 6 > 0، والاستنتاج نقطة صغرى محلية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد dy/dx = 3x² − 12x + 9.
    • يحدد المتطلب الناقص: مساواة dy/dx بالصفر والتحليل: 3(x − 1)(x − 3) = 0، ما يعطي x = 1 وx = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد المشتقة الثانية d²y/dx² = 6x − 12.
    • يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند x = 1: d²y/dx² = −6 < 0، والاستنتاج نقطة عظمى محلية.
    • يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند x = 3: d²y/dx² = 6 > 0، والاستنتاج نقطة صغرى محلية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    احسب المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² ومحور x.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع التكامل المحدد: ∫₋₂² (4 − x²) dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على 4x − x³/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التقييم عند الحدين: (8 − 8/3) − (−8 + 8/3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مساحة = 32/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعطي جذور المنحنى حدي التكامل الطبيعيين عند إيجاد المساحة المحصورة مع محور x — أوجدها دائماً أولاً قبل وضع التكامل المحدد.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل.
    • وضع التكامل المحدد: ∫₋₂² (4 − x²) dx.
    • التكامل للحصول على 4x − x³/3.
    • التقييم عند الحدين: (8 − 8/3) − (−8 + 8/3).
    • الحصول على مساحة = 32/3.

    ملاحظة الفاحص: تعطي جذور المنحنى حدي التكامل الطبيعيين عند إيجاد المساحة المحصورة مع محور x — أوجدها دائماً أولاً قبل وضع التكامل المحدد.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احسب المساحة المحصورة بين المنحنى y = 4 − x² ومحور x.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل المحدد: ∫₋₂² (4 − x²) dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على 4x − x³/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند الحدين: (8 − 8/3) − (−8 + 8/3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة = 32/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد جذري 4 − x² = 0: x = −2 وx = 2، ما يعطي حدي التكامل.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع التكامل المحدد: ∫₋₂² (4 − x²) dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على 4x − x³/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: التقييم عند الحدين: (8 − 8/3) − (−8 + 8/3).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة = 32/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    تُدار المنطقة المحصورة بـ y = x² ومحور x والخط x = 2 دورة كاملة 360° حول محور x. احسب حجم المجسم الناتج، باستخدام V = π∫y² dx.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر V = π∫y² dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض y² = (x²)² = x⁴. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع V = π∫₀² x⁴ dx. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التكامل للحصول على π[x⁵/5] مُقيَّمة من 0 إلى 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على V = 32π/5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اربّع الدالة أولاً (y²) دائماً، وليس صيغة الحجم نفسها، قبل التكامل — يعطي تربيع x² القيمة x⁴، وليس x³ أو 2x².

    نقاط التصحيح

    • ذكر V = π∫y² dx.
    • تعويض y² = (x²)² = x⁴.
    • وضع V = π∫₀² x⁴ dx.
    • التكامل للحصول على π[x⁵/5] مُقيَّمة من 0 إلى 2.
    • الحصول على V = 32π/5.

    ملاحظة الفاحص: اربّع الدالة أولاً (y²) دائماً، وليس صيغة الحجم نفسها، قبل التكامل — يعطي تربيع x² القيمة x⁴، وليس x³ أو 2x².

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُدار المنطقة المحصورة بـ y = x² ومحور x والخط x = 2 دورة كاملة 360° حول محور x. احسب حجم المجسم الناتج، باستخدام V = π∫y² dx.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر V = π∫y² dx.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر V = π∫y² dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض y² = (x²)² = x⁴. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع V = π∫₀² x⁴ dx. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على π[x⁵/5] مُقيَّمة من 0 إلى 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على V = 32π/5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر V = π∫y² dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض y² = (x²)² = x⁴.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع V = π∫₀² x⁴ dx.
    • يحدد المتطلب الناقص: التكامل للحصول على π[x⁵/5] مُقيَّمة من 0 إلى 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على V = 32π/5.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    اشتق y = arctan(3x)، باستخدام النتيجة القياسية d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد u′ = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على dy/dx = 3/(1 + 9x²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: هذا ببساطة تطبيق قاعدة السلسلة على مشتقة arctan القياسية — عامل u كـ'الدالة الداخلية' تماماً كأي دالة مركبة أخرى.

    نقاط التصحيح

    • ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x.
    • إيجاد u′ = 3.
    • التعويض للحصول على dy/dx = 3/(1 + 9x²).

    ملاحظة الفاحص: هذا ببساطة تطبيق قاعدة السلسلة على مشتقة arctan القياسية — عامل u كـ'الدالة الداخلية' تماماً كأي دالة مركبة أخرى.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اشتق y = arctan(3x)، باستخدام النتيجة القياسية d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على dy/dx = 3/(1 + 9x²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر الصيغة d/dx[arctan(u)] = u′/(1 + u²)، مع u = 3x.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد u′ = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على dy/dx = 3/(1 + 9x²).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    بالنظر إلى g(x) = ∫₁ˣ (t² + 1) dt، استخدم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد g′(x)، ومنه احسب g′(2).

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. ابنِ حكماً مدعوماً: حدّد الادعاء واستخدم أدلة السؤال وناقش قيداً أو بديلاً مناسباً، واجعل الخلاصة مبنية على الأدلة. قد توجد أكثر من إجابة قابلة للدفاع عنها.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر g′(x) = x² + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 2 للحصول على g′(2) = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعني المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل أن اشتقاق تكامل 'يُلغي' التكامل ببساطة، ويعيد الدالة الأصلية داخل التكامل مُقيَّمة عند الحد الأعلى المتغير — لا حاجة لأي تكامل فعلي للإجابة عن هذا النوع من الأسئلة.

    نقاط التصحيح

    • ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x).
    • ذكر g′(x) = x² + 1.
    • تعويض x = 2 للحصول على g′(2) = 5.

    ملاحظة الفاحص: تعني المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل أن اشتقاق تكامل 'يُلغي' التكامل ببساطة، ويعيد الدالة الأصلية داخل التكامل مُقيَّمة عند الحد الأعلى المتغير — لا حاجة لأي تكامل فعلي للإجابة عن هذا النوع من الأسئلة.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى g(x) = ∫₁ˣ (t² + 1) dt، استخدم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد g′(x)، ومنه احسب g′(2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: ذكر g′(x) = x² + 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2 للحصول على g′(2) = 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt، فإن g′(x) = f(x).
    • يحدد المتطلب الناقص: ذكر g′(x) = x² + 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2 للحصول على g′(2) = 5.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    يدخل الماء خزان إعادة تدوير بمعدل 12 L min⁻¹. عند الزمن t بالدقائق يحتوي الخزان على V لتراً، ويخرج الماء بمعدل 0.08V L min⁻¹. في البداية V = 50. (أ) اكتب معادلة تفاضلية لـ V. (ب) أوجد حجم الاتزان. (ج) أوجد V بدلالة t. (د) حدد أول زمن يصل فيه V إلى 120 L.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يكتب dV/dt = 12 − 0.08V. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يضع dV/dt = 0 ويحصل على حجم الاتزان V = 150 L. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يحصل على الصورة العامة V = 150 + Ce⁻⁰·⁰⁸ᵗ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يستخدم V(0) = 50 للحصول على V = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يحل 120 = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ للحصول على t = −ln(0.3)/0.08 ≈ 15.0 min. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق من الحل باستخدام الشرط الابتدائي واتزان المدى الطويل؛ يجب أن يتوافق كلاهما مع النموذج الفيزيائي.

    نقاط التصحيح

    • يكتب dV/dt = 12 − 0.08V.
    • يضع dV/dt = 0 ويحصل على حجم الاتزان V = 150 L.
    • يحصل على الصورة العامة V = 150 + Ce⁻⁰·⁰⁸ᵗ.
    • يستخدم V(0) = 50 للحصول على V = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ.
    • يحل 120 = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ للحصول على t = −ln(0.3)/0.08 ≈ 15.0 min.

    ملاحظة الفاحص: تحقق من الحل باستخدام الشرط الابتدائي واتزان المدى الطويل؛ يجب أن يتوافق كلاهما مع النموذج الفيزيائي.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يدخل الماء خزان إعادة تدوير بمعدل 12 L min⁻¹. عند الزمن t بالدقائق يحتوي الخزان على V لتراً، ويخرج الماء بمعدل 0.08V L min⁻¹. في البداية V = 50. (أ) اكتب معادلة تفاضلية لـ V. (ب) أوجد حجم الاتزان. (ج) أوجد V بدلالة t. (د) حدد أول زمن يصل فيه V إلى 120 L.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يكتب dV/dt = 12 − 0.08V.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يكتب dV/dt = 12 − 0.08V. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: يضع dV/dt = 0 ويحصل على حجم الاتزان V = 150 L. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: يحصل على الصورة العامة V = 150 + Ce⁻⁰·⁰⁸ᵗ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: يستخدم V(0) = 50 للحصول على V = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: يحل 120 = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ للحصول على t = −ln(0.3)/0.08 ≈ 15.0 min. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يكتب dV/dt = 12 − 0.08V.
    • يحدد المتطلب الناقص: يضع dV/dt = 0 ويحصل على حجم الاتزان V = 150 L.
    • يحدد المتطلب الناقص: يحصل على الصورة العامة V = 150 + Ce⁻⁰·⁰⁸ᵗ.
    • يحدد المتطلب الناقص: يستخدم V(0) = 50 للحصول على V = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ.
    • يحدد المتطلب الناقص: يحل 120 = 150 − 100e⁻⁰·⁰⁸ᵗ للحصول على t = −ln(0.3)/0.08 ≈ 15.0 min.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.