الرياضيات AA: المستوى العالي
الدوال — الموضوع 2
- 1.
بيّن أن (x − 2) عامل للدالة p(x) = x³ − 3x² − 4x + 12، ثم حلّلها بالكامل إلى عوامل.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بيّن أن (x − 2) عامل للدالة p(x) = x³ − 3x² − 4x + 12، ثم حلّلها بالكامل إلى عوامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
للدالة الكسرية f(x) = (2x + 1)/(x − 3) خط مقارب رأسي وآخر أفقي. اكتب معادلة كل منهما.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة الكسرية f(x) = (2x + 1)/(x − 3) خط مقارب رأسي وآخر أفقي. اكتب معادلة كل منهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 5.
للمعادلة التكعيبية 2x³ − 5x² + 3x − 1 = 0 جذور α، β، γ. أوجد α + β + γ وαβγ.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التكعيبية 2x³ − 5x² + 3x − 1 = 0 جذور α، β، γ. أوجد α + β + γ وαβγ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
للدالة f(x) = √(x + 4) مجال x ≥ −4. أوجد f⁻¹(x) واذكر مجالها ومداها.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = √(x + 4) مجال x ≥ −4. أوجد f⁻¹(x) واذكر مجالها ومداها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
حل المتباينة (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 باستخدام مخطط الإشارة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المتباينة (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 باستخدام مخطط الإشارة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
بيّن جبرياً أن الدالة f(x) = (x + 1)/(x − 1)، x ≠ 1، هي دالة ذاتية العكس.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بيّن جبرياً أن الدالة f(x) = (x + 1)/(x − 1)، x ≠ 1، هي دالة ذاتية العكس.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 13.
بالنظر إلى f(x) = √x وg(x) = x − 4، أوجد مجال الدالة المركبة (f ∘ g)(x).
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى f(x) = √x وg(x) = x − 4، أوجد مجال الدالة المركبة (f ∘ g)(x).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 15.
حدد جبرياً ما إذا كانت الدالة f(x) = x³ − 2x فردية أم زوجية أم لا هذا ولا ذاك.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد جبرياً ما إذا كانت الدالة f(x) = x³ − 2x فردية أم زوجية أم لا هذا ولا ذاك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
اكتب (5x − 3)/((x − 1)(x + 2)) بالصورة A/(x − 1) + B/(x + 2)، مع إيجاد قيمتي A وB.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب (5x − 3)/((x − 1)(x + 2)) بالصورة A/(x − 1) + B/(x + 2)، مع إيجاد قيمتي A وB.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
يُحوَّل منحنى y = f(x) إلى y = 2f(x − 3) − 1. صِف، بالترتيب، التحويلات الثلاثة المطبقة على منحنى y = f(x).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل منحنى y = f(x) إلى y = 2f(x − 3) − 1. صِف، بالترتيب، التحويلات الثلاثة المطبقة على منحنى y = f(x).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 21.
حل المعادلة 3^(2x−1) = 27^(x+2)، مع كتابة x كقيمة دقيقة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 3^(2x−1) = 27^(x+2)، مع كتابة x كقيمة دقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 23.
للدالة الكسرية f(x) = (x² + 1)/(x − 2) خط مقارب مائل. استخدم قسمة كثيرات الحدود لإيجاد معادلته.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة الكسرية f(x) = (x² + 1)/(x − 2) خط مقارب مائل. استخدم قسمة كثيرات الحدود لإيجاد معادلته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 25.
حل المعادلة |2x − 5| = 7.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة |2x − 5| = 7.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 27.
لكثيرة الحدود f(x) = x³ + ax² − 5x + 6 عامل هو (x − 2). أوجد قيمة a.
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لكثيرة الحدود f(x) = x³ + ax² − 5x + 6 عامل هو (x − 2). أوجد قيمة a.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
بالنظر إلى f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (g∘f)(x) ومن ثم حل (g∘f)(x) = 6.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (g∘f)(x) ومن ثم حل (g∘f)(x) = 6.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]