الرياضيات AA: المستوى العالي

1. 1.

   بيّن أن (x − 2) عامل للدالة p(x) = x³ − 3x² − 4x + 12، ثم حلّلها بالكامل إلى عوامل.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حافظ على تكافؤ كل تعبير مع سابقه. فك الأقواس مع الحفاظ على الإشارات، واجمع الحدود المتشابهة فقط أو أخرج العامل المشترك وفق المطلوب. تحقق من النتيجة بفك العوامل أو التعويض بقيمة مسموحة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أن (x − 2) عامل لأن p(2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: قسمة p(x) على (x − 2) للحصول على خارج القسمة x² − x − 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحليل خارج القسمة إلى (x − 3)(x + 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة التحليل الكامل p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب إظهار خطوات قسمة كثيرة الحدود (أو المطابقة التركيبية)؛ ذكر خارج القسمة دون إظهار الخطوات يفقد درجات الطريقة.

   نقاط التصحيح

   • تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0.
   • الاستنتاج أن (x − 2) عامل لأن p(2) = 0.
   • قسمة p(x) على (x − 2) للحصول على خارج القسمة x² − x − 6.
   • تحليل خارج القسمة إلى (x − 3)(x + 2).
   • كتابة التحليل الكامل p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 2).

   ملاحظة الفاحص: يجب إظهار خطوات قسمة كثيرة الحدود (أو المطابقة التركيبية)؛ ذكر خارج القسمة دون إظهار الخطوات يفقد درجات الطريقة.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بيّن أن (x − 2) عامل للدالة p(x) = x³ − 3x² − 4x + 12، ثم حلّلها بالكامل إلى عوامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن (x − 2) عامل لأن p(2) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: قسمة p(x) على (x − 2) للحصول على خارج القسمة x² − x − 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تحليل خارج القسمة إلى (x − 3)(x + 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة التحليل الكامل p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تطبيق نظرية العامل بتقييم p(2) = 8 − 12 − 8 + 12 = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أن (x − 2) عامل لأن p(2) = 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: قسمة p(x) على (x − 2) للحصول على خارج القسمة x² − x − 6.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحليل خارج القسمة إلى (x − 3)(x + 2).
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة التحليل الكامل p(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 2).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   للدالة الكسرية f(x) = (2x + 1)/(x − 3) خط مقارب رأسي وآخر أفقي. اكتب معادلة كل منهما.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الخط المقارب الأفقي من نسبة المعاملات الرئيسية عندما x → ±∞. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لدالة كسرية خطية على خطية، الخط المقارب الأفقي هو ببساطة نسبة معاملي x.

   نقاط التصحيح

   • تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3.
   • تحديد الخط المقارب الأفقي من نسبة المعاملات الرئيسية عندما x → ±∞.
   • كتابة الخط المقارب الأفقي y = 2.

   ملاحظة الفاحص: بالنسبة لدالة كسرية خطية على خطية، الخط المقارب الأفقي هو ببساطة نسبة معاملي x.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة الكسرية f(x) = (2x + 1)/(x − 3) خط مقارب رأسي وآخر أفقي. اكتب معادلة كل منهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الخط المقارب الأفقي من نسبة المعاملات الرئيسية عندما x → ±∞. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الخط المقارب الرأسي عند صفر المقام: x = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الخط المقارب الأفقي من نسبة المعاملات الرئيسية عندما x → ±∞.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 2.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   للمعادلة التكعيبية 2x³ − 5x² + 3x − 1 = 0 جذور α، β، γ. أوجد α + β + γ وαβγ.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد a = 2، b = −5، d = −1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب α + β + γ = −(−5)/2 = 5/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب αβγ = −(−1)/2 = 1/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتيح علاقتا مجموع وجداء الجذور الإجابة عن أسئلة الجذور دون حل المعادلة التكعيبية فعلياً — تحقق دائماً أولاً مما إذا كان السؤال يتطلب الجذور الفردية فعلاً.

   نقاط التصحيح

   • كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a.
   • تحديد a = 2، b = −5، d = −1.
   • حساب α + β + γ = −(−5)/2 = 5/2.
   • حساب αβγ = −(−1)/2 = 1/2.

   ملاحظة الفاحص: تتيح علاقتا مجموع وجداء الجذور الإجابة عن أسئلة الجذور دون حل المعادلة التكعيبية فعلياً — تحقق دائماً أولاً مما إذا كان السؤال يتطلب الجذور الفردية فعلاً.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التكعيبية 2x³ − 5x² + 3x − 1 = 0 جذور α، β، γ. أوجد α + β + γ وαβγ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد a = 2، b = −5، d = −1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب α + β + γ = −(−5)/2 = 5/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب αβγ = −(−1)/2 = 1/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة العلاقتين لـax³ + bx² + cx + d = 0: مجموع الجذور = −b/a، وجداء الجذور = −d/a.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد a = 2، b = −5، d = −1.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب α + β + γ = −(−5)/2 = 5/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب αβγ = −(−1)/2 = 1/2.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   للدالة f(x) = √(x + 4) مجال x ≥ −4. أوجد f⁻¹(x) واذكر مجالها ومداها.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تربيع الطرفين: x² = y + 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = x² − 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة مجال f⁻¹ بأنه x ≥ 0، مطابقاً لمدى f. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة مدى f⁻¹ بأنه y ≥ −4، مطابقاً لمجال f. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يساوي مجال f⁻¹ دائماً مدى f، ويساوي مدى f⁻¹ دائماً مجال f — الاكتفاء بكتابة المعكوس الجبري دون هذين القيدين يفقد درجات.

   نقاط التصحيح

   • كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4).
   • تربيع الطرفين: x² = y + 4.
   • إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = x² − 4.
   • كتابة مجال f⁻¹ بأنه x ≥ 0، مطابقاً لمدى f.
   • كتابة مدى f⁻¹ بأنه y ≥ −4، مطابقاً لمجال f.

   ملاحظة الفاحص: يساوي مجال f⁻¹ دائماً مدى f، ويساوي مدى f⁻¹ دائماً مجال f — الاكتفاء بكتابة المعكوس الجبري دون هذين القيدين يفقد درجات.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة f(x) = √(x + 4) مجال x ≥ −4. أوجد f⁻¹(x) واذكر مجالها ومداها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تربيع الطرفين: x² = y + 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = x² − 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجال f⁻¹ بأنه x ≥ 0، مطابقاً لمدى f. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة مدى f⁻¹ بأنه y ≥ −4، مطابقاً لمجال f. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة y = √(x + 4) وتبديل x وy: x = √(y + 4).
   • يحدد المتطلب الناقص: تربيع الطرفين: x² = y + 4.
   • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = x² − 4.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجال f⁻¹ بأنه x ≥ 0، مطابقاً لمدى f.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة مدى f⁻¹ بأنه y ≥ −4، مطابقاً لمجال f.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   حل المتباينة (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 باستخدام مخطط الإشارة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختبار إشارة التعبير في كل من الفترات الأربع الناتجة عن هذه القيم. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: بناء مخطط إشارة صحيح: سالب، موجب، سالب، موجب من اليسار إلى اليمين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختيار الفترات التي يكون فيها التعبير موجباً أو صفراً، مع تضمين القيم الحرجة لأن المتباينة غير صارمة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحل −2 ≤ x ≤ 1 أو x ≥ 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تتغير إشارة الجداء عند قيمة حرجة إلا إذا كانت مضاعفة ذلك العامل فردية — اختبر نقطة واحدة في كل فترة بدل افتراض تبادل الإشارات ببساطة.

   نقاط التصحيح

   • تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً.
   • اختبار إشارة التعبير في كل من الفترات الأربع الناتجة عن هذه القيم.
   • بناء مخطط إشارة صحيح: سالب، موجب، سالب، موجب من اليسار إلى اليمين.
   • اختيار الفترات التي يكون فيها التعبير موجباً أو صفراً، مع تضمين القيم الحرجة لأن المتباينة غير صارمة.
   • كتابة الحل −2 ≤ x ≤ 1 أو x ≥ 3.

   ملاحظة الفاحص: لا تتغير إشارة الجداء عند قيمة حرجة إلا إذا كانت مضاعفة ذلك العامل فردية — اختبر نقطة واحدة في كل فترة بدل افتراض تبادل الإشارات ببساطة.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المتباينة (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 باستخدام مخطط الإشارة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: اختبار إشارة التعبير في كل من الفترات الأربع الناتجة عن هذه القيم. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: بناء مخطط إشارة صحيح: سالب، موجب، سالب، موجب من اليسار إلى اليمين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: اختيار الفترات التي يكون فيها التعبير موجباً أو صفراً، مع تضمين القيم الحرجة لأن المتباينة غير صارمة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل −2 ≤ x ≤ 1 أو x ≥ 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد القيم الحرجة x = −2, 1, 3 حيث يساوي التعبير صفراً.
    • يحدد المتطلب الناقص: اختبار إشارة التعبير في كل من الفترات الأربع الناتجة عن هذه القيم.
    • يحدد المتطلب الناقص: بناء مخطط إشارة صحيح: سالب، موجب، سالب، موجب من اليسار إلى اليمين.
    • يحدد المتطلب الناقص: اختيار الفترات التي يكون فيها التعبير موجباً أو صفراً، مع تضمين القيم الحرجة لأن المتباينة غير صارمة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل −2 ≤ x ≤ 1 أو x ≥ 3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    بيّن جبرياً أن الدالة f(x) = (x + 1)/(x − 1)، x ≠ 1، هي دالة ذاتية العكس.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض f(x) في نفسها: f(f(x)) = [((x+1)/(x−1)) + 1] / [((x+1)/(x−1)) − 1]. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع كل جزء من الكسر المركب على المقام المشترك (x − 1): يصبح البسط 2x/(x−1)، ويصبح المقام 2/(x−1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط الكسر المركب للحصول على f(f(x)) = 2x/2 = x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أنه بما أن f(f(x)) = x، فإن f ذاتية العكس. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يكون منحنى الدالة ذاتية العكس متماثلاً دائماً حول المستقيم y = x — يمكن استخدام ذلك للتحقق البصري السريع قبل محاولة البرهان الجبري.

    نقاط التصحيح

    • كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال.
    • تعويض f(x) في نفسها: f(f(x)) = [((x+1)/(x−1)) + 1] / [((x+1)/(x−1)) − 1].
    • جمع كل جزء من الكسر المركب على المقام المشترك (x − 1): يصبح البسط 2x/(x−1)، ويصبح المقام 2/(x−1).
    • تبسيط الكسر المركب للحصول على f(f(x)) = 2x/2 = x.
    • الاستنتاج أنه بما أن f(f(x)) = x، فإن f ذاتية العكس.

    ملاحظة الفاحص: يكون منحنى الدالة ذاتية العكس متماثلاً دائماً حول المستقيم y = x — يمكن استخدام ذلك للتحقق البصري السريع قبل محاولة البرهان الجبري.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بيّن جبرياً أن الدالة f(x) = (x + 1)/(x − 1)، x ≠ 1، هي دالة ذاتية العكس.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض f(x) في نفسها: f(f(x)) = [((x+1)/(x−1)) + 1] / [((x+1)/(x−1)) − 1]. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: جمع كل جزء من الكسر المركب على المقام المشترك (x − 1): يصبح البسط 2x/(x−1)، ويصبح المقام 2/(x−1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الكسر المركب للحصول على f(f(x)) = 2x/2 = x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن f(f(x)) = x، فإن f ذاتية العكس. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن f ذاتية العكس إذا كانت f(f(x)) = x لكل x في المجال.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض f(x) في نفسها: f(f(x)) = [((x+1)/(x−1)) + 1] / [((x+1)/(x−1)) − 1].
    • يحدد المتطلب الناقص: جمع كل جزء من الكسر المركب على المقام المشترك (x − 1): يصبح البسط 2x/(x−1)، ويصبح المقام 2/(x−1).
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط الكسر المركب للحصول على f(f(x)) = 2x/2 = x.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن f(f(x)) = x، فإن f ذاتية العكس.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    بالنظر إلى f(x) = √x وg(x) = x − 4، أوجد مجال الدالة المركبة (f ∘ g)(x).

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن مجال f يقيّد مدخلها بقيم ≥ 0، لذا يجب أن يحقق g(x) ≥ 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع وحل المتباينة x − 4 ≥ 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة مجال الدالة المركبة بأنه x ≥ 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتقيد مجال الدالة المركبة f(g(x)) بمجال الدالة الخارجية المطبقة على g(x)، لا بمجال g وحدها — تحقق دائماً من القيم المسموح أن يخرجها g(x).

    نقاط التصحيح

    • تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4).
    • إدراك أن مجال f يقيّد مدخلها بقيم ≥ 0، لذا يجب أن يحقق g(x) ≥ 0.
    • وضع وحل المتباينة x − 4 ≥ 0.
    • كتابة مجال الدالة المركبة بأنه x ≥ 4.

    ملاحظة الفاحص: يتقيد مجال الدالة المركبة f(g(x)) بمجال الدالة الخارجية المطبقة على g(x)، لا بمجال g وحدها — تحقق دائماً من القيم المسموح أن يخرجها g(x).

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى f(x) = √x وg(x) = x − 4، أوجد مجال الدالة المركبة (f ∘ g)(x).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن مجال f يقيّد مدخلها بقيم ≥ 0، لذا يجب أن يحقق g(x) ≥ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع وحل المتباينة x − 4 ≥ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجال الدالة المركبة بأنه x ≥ 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكوين الدالة المركبة (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = √(x − 4).
    • يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن مجال f يقيّد مدخلها بقيم ≥ 0، لذا يجب أن يحقق g(x) ≥ 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع وحل المتباينة x − 4 ≥ 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجال الدالة المركبة بأنه x ≥ 4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    حدد جبرياً ما إذا كانت الدالة f(x) = x³ − 2x فردية أم زوجية أم لا هذا ولا ذاك.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إدراك أن −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الاستنتاج أنه بما أن f(−x) = −f(x)، فإن الدالة فردية. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يحتوي كل حد في دالة فردية على أس فردي لـx، وكل حد في دالة زوجية على أس زوجي (بما في ذلك الحد الثابت، x⁰) — غالباً ما تتنبأ نظرة سريعة على الأسس بالإجابة قبل أي تعويض.

    نقاط التصحيح

    • كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x.
    • حساب f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x.
    • إدراك أن −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x).
    • الاستنتاج أنه بما أن f(−x) = −f(x)، فإن الدالة فردية.

    ملاحظة الفاحص: يحتوي كل حد في دالة فردية على أس فردي لـx، وكل حد في دالة زوجية على أس زوجي (بما في ذلك الحد الثابت، x⁰) — غالباً ما تتنبأ نظرة سريعة على الأسس بالإجابة قبل أي تعويض.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد جبرياً ما إذا كانت الدالة f(x) = x³ − 2x فردية أم زوجية أم لا هذا ولا ذاك.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن f(−x) = −f(x)، فإن الدالة فردية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الاختبارين: f زوجية إذا كانت f(−x) = f(x) لكل x؛ وf فردية إذا كانت f(−x) = −f(x) لكل x.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x.
    • يحدد المتطلب الناقص: إدراك أن −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x).
    • يحدد المتطلب الناقص: الاستنتاج أنه بما أن f(−x) = −f(x)، فإن الدالة فردية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    اكتب (5x − 3)/((x − 1)(x + 2)) بالصورة A/(x − 1) + B/(x + 2)، مع إيجاد قيمتي A وB.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 1 لإيجاد A: 5(1) − 3 = A(3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على A = 2/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = −2 لإيجاد B: 5(−2) − 3 = B(−3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على B = 13/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُلغي التعويض بالقيمة التي تجعل أحد القوسين صفراً المجهول الآخر تماماً — تقنية 'التغطية' هذه أسرع بكثير من التوسيع ومطابقة المعاملات.

    نقاط التصحيح

    • كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1).
    • تعويض x = 1 لإيجاد A: 5(1) − 3 = A(3).
    • الحصول على A = 2/3.
    • تعويض x = −2 لإيجاد B: 5(−2) − 3 = B(−3).
    • الحصول على B = 13/3.

    ملاحظة الفاحص: يُلغي التعويض بالقيمة التي تجعل أحد القوسين صفراً المجهول الآخر تماماً — تقنية 'التغطية' هذه أسرع بكثير من التوسيع ومطابقة المعاملات.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب (5x − 3)/((x − 1)(x + 2)) بالصورة A/(x − 1) + B/(x + 2)، مع إيجاد قيمتي A وB.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 لإيجاد A: 5(1) − 3 = A(3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على A = 2/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = −2 لإيجاد B: 5(−2) − 3 = B(−3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على B = 13/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة 5x − 3 = A(x + 2) + B(x − 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 1 لإيجاد A: 5(1) − 3 = A(3).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على A = 2/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = −2 لإيجاد B: 5(−2) − 3 = B(−3).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على B = 13/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    يُحوَّل منحنى y = f(x) إلى y = 2f(x − 3) − 1. صِف، بالترتيب، التحويلات الثلاثة المطبقة على منحنى y = f(x).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح تمدد رأسي بعامل مقياس 2 (بالنسبة لمحور x)، لتعطي 2f(x − 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة للأسفل، لتعطي 2f(x − 3) − 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمكن دائماً تحديد التحويلات داخل الدالة (المؤثرة على x) وخارجها (المؤثرة على y) ووصفها بشكل منفصل، ويطابق الترتيب المذكور هنا الترتيب المتعارف عليه لتطبيقها على المنحنى.

    نقاط التصحيح

    • توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3).
    • توضيح تمدد رأسي بعامل مقياس 2 (بالنسبة لمحور x)، لتعطي 2f(x − 3).
    • توضيح إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة للأسفل، لتعطي 2f(x − 3) − 1.

    ملاحظة الفاحص: يمكن دائماً تحديد التحويلات داخل الدالة (المؤثرة على x) وخارجها (المؤثرة على y) ووصفها بشكل منفصل، ويطابق الترتيب المذكور هنا الترتيب المتعارف عليه لتطبيقها على المنحنى.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل منحنى y = f(x) إلى y = 2f(x − 3) − 1. صِف، بالترتيب، التحويلات الثلاثة المطبقة على منحنى y = f(x).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: توضيح تمدد رأسي بعامل مقياس 2 (بالنسبة لمحور x)، لتعطي 2f(x − 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: توضيح إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة للأسفل، لتعطي 2f(x − 3) − 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح إزاحة أفقية بمقدار 3 وحدات باتجاه x الموجب (يميناً)، لتعطي f(x − 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح تمدد رأسي بعامل مقياس 2 (بالنسبة لمحور x)، لتعطي 2f(x − 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح إزاحة رأسية بمقدار وحدة واحدة للأسفل، لتعطي 2f(x − 3) − 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    حل المعادلة 3^(2x−1) = 27^(x+2)، مع كتابة x كقيمة دقيقة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة الأسّين، بما أن الأساسين متساويان: 2x − 1 = 3(x + 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التوسيع للحصول على 2x − 1 = 3x + 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على x = −7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: كلما أمكن كتابة طرفي معادلة أسية بالأساس نفسه، يمكن مساواة الأسّين ببساطة — ابحث دائماً عن أساس مشترك قبل أخذ اللوغاريتمات.

    نقاط التصحيح

    • إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)).
    • مساواة الأسّين، بما أن الأساسين متساويان: 2x − 1 = 3(x + 2).
    • التوسيع للحصول على 2x − 1 = 3x + 6.
    • الحل للحصول على x = −7.

    ملاحظة الفاحص: كلما أمكن كتابة طرفي معادلة أسية بالأساس نفسه، يمكن مساواة الأسّين ببساطة — ابحث دائماً عن أساس مشترك قبل أخذ اللوغاريتمات.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 3^(2x−1) = 27^(x+2)، مع كتابة x كقيمة دقيقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: مساواة الأسّين، بما أن الأساسين متساويان: 2x − 1 = 3(x + 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التوسيع للحصول على 2x − 1 = 3x + 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على x = −7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة كتابة 27 بصورة 3³، بحيث 27^(x+2) = 3^(3(x+2)).
    • يحدد المتطلب الناقص: مساواة الأسّين، بما أن الأساسين متساويان: 2x − 1 = 3(x + 2).
    • يحدد المتطلب الناقص: التوسيع للحصول على 2x − 1 = 3x + 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على x = −7.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    للدالة الكسرية f(x) = (x² + 1)/(x − 2) خط مقارب مائل. استخدم قسمة كثيرات الحدود لإيجاد معادلته.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على خارج قسمة x + 2 وباقٍ 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة f(x) = x + 2 + 5/(x − 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه مع x → ±∞، يقترب الحد المتبقي 5/(x − 2) من الصفر، لذا الخط المقارب المائل هو y = x + 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ينشأ الخط المقارب المائل كلما كانت درجة البسط أكبر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام — يعطي خارج القسمة من قسمة كثيرات الحدود (بتجاهل الباقي) معادلته مباشرة دائماً.

    نقاط التصحيح

    • قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود.
    • الحصول على خارج قسمة x + 2 وباقٍ 5.
    • كتابة f(x) = x + 2 + 5/(x − 2).
    • توضيح أنه مع x → ±∞، يقترب الحد المتبقي 5/(x − 2) من الصفر، لذا الخط المقارب المائل هو y = x + 2.

    ملاحظة الفاحص: ينشأ الخط المقارب المائل كلما كانت درجة البسط أكبر بمقدار واحد بالضبط من درجة المقام — يعطي خارج القسمة من قسمة كثيرات الحدود (بتجاهل الباقي) معادلته مباشرة دائماً.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للدالة الكسرية f(x) = (x² + 1)/(x − 2) خط مقارب مائل. استخدم قسمة كثيرات الحدود لإيجاد معادلته.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على خارج قسمة x + 2 وباقٍ 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة f(x) = x + 2 + 5/(x − 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه مع x → ±∞، يقترب الحد المتبقي 5/(x − 2) من الصفر، لذا الخط المقارب المائل هو y = x + 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: قسمة x² + 1 على x − 2 باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على خارج قسمة x + 2 وباقٍ 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة f(x) = x + 2 + 5/(x − 2).
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه مع x → ±∞، يقترب الحد المتبقي 5/(x − 2) من الصفر، لذا الخط المقارب المائل هو y = x + 2.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    حل المعادلة |2x − 5| = 7.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل الحالة الأولى للحصول على x = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل الحالة الثانية للحصول على x = −1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تنقسم معادلة القيمة المطلقة |A| = k (لـ k > 0) دائماً إلى حالتين خطيتين بالضبط، A = k وA = −k — حل كلتيهما، لأن كلتيهما عموماً حل صالح.

    نقاط التصحيح

    • وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7.
    • حل الحالة الأولى للحصول على x = 6.
    • حل الحالة الثانية للحصول على x = −1.

    ملاحظة الفاحص: تنقسم معادلة القيمة المطلقة |A| = k (لـ k > 0) دائماً إلى حالتين خطيتين بالضبط، A = k وA = −k — حل كلتيهما، لأن كلتيهما عموماً حل صالح.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة |2x − 5| = 7.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الأولى للحصول على x = 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الثانية للحصول على x = −1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع الحالتين: 2x − 5 = 7 و2x − 5 = −7.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الأولى للحصول على x = 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الثانية للحصول على x = −1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    لكثيرة الحدود f(x) = x³ + ax² − 5x + 6 عامل هو (x − 2). أوجد قيمة a.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 2: 8 + 4a − 10 + 6 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على a = −1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحوّل نظرية العامل شرط التحليل إلى عوامل مباشرة إلى معادلة قابلة للحل للمعامل المجهول — عوّض بالجذر الذي يجعل العامل المعروف صفراً.

    نقاط التصحيح

    • ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0.
    • تعويض x = 2: 8 + 4a − 10 + 6 = 0.
    • الحل للحصول على a = −1.

    ملاحظة الفاحص: تحوّل نظرية العامل شرط التحليل إلى عوامل مباشرة إلى معادلة قابلة للحل للمعامل المجهول — عوّض بالجذر الذي يجعل العامل المعروف صفراً.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لكثيرة الحدود f(x) = x³ + ax² − 5x + 6 عامل هو (x − 2). أوجد قيمة a.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2: 8 + 4a − 10 + 6 = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على a = −1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: ذكر نظرية العامل: بما أن (x − 2) عامل، f(2) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 2: 8 + 4a − 10 + 6 = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على a = −1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    بالنظر إلى f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (g∘f)(x) ومن ثم حل (g∘f)(x) = 6.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التوسيع للحصول على (g∘f)(x) = 4x² + 4x − 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 4x² + 4x − 2 = 6 والتبسيط للحصول على x² + x − 2 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل (x + 2)(x − 1) = 0 للحصول على x = −2 أو x = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: وسّع وبسّط دائماً الدالة المركبة بالكامل قبل مساواتها بقيمة مستهدفة — محاولة حل الصورة غير الموسّعة مباشرة أكثر عرضة للخطأ بكثير.

    نقاط التصحيح

    • تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3.
    • التوسيع للحصول على (g∘f)(x) = 4x² + 4x − 2.
    • وضع 4x² + 4x − 2 = 6 والتبسيط للحصول على x² + x − 2 = 0.
    • التحليل (x + 2)(x − 1) = 0 للحصول على x = −2 أو x = 1.

    ملاحظة الفاحص: وسّع وبسّط دائماً الدالة المركبة بالكامل قبل مساواتها بقيمة مستهدفة — محاولة حل الصورة غير الموسّعة مباشرة أكثر عرضة للخطأ بكثير.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى f(x) = 2x + 1 وg(x) = x² − 3، أوجد (g∘f)(x) ومن ثم حل (g∘f)(x) = 6.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التوسيع للحصول على (g∘f)(x) = 4x² + 4x − 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: وضع 4x² + 4x − 2 = 6 والتبسيط للحصول على x² + x − 2 = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التحليل (x + 2)(x − 1) = 0 للحصول على x = −2 أو x = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تكوين الدالة المركبة: (g∘f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: التوسيع للحصول على (g∘f)(x) = 4x² + 4x − 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع 4x² + 4x − 2 = 6 والتبسيط للحصول على x² + x − 2 = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحليل (x + 2)(x − 1) = 0 للحصول على x = −2 أو x = 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.