الرياضيات AA: المستوى العالي
الهندسة والمثلثات — الموضوع 3
- 1.
يشكّل المتجهان a = (1, 2, 3) وb = (0, 1, 4) ضلعين لمتوازي أضلاع. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
[4 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يشكّل المتجهان a = (1, 2, 3) وb = (0, 1, 4) ضلعين لمتوازي أضلاع. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 3.
تحدد المتجهات a = (2, 1, 0)، وb = (1, 3, 0)، وc = (0, 0, 4) أضلاع متوازي سطوح من رأس مشترك. أوجد حجمه باستخدام الجداء القياسي الثلاثي a · (b × c).
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تحدد المتجهات a = (2, 1, 0)، وb = (1, 3, 0)، وc = (0, 0, 4) أضلاع متوازي سطوح من رأس مشترك. أوجد حجمه باستخدام الجداء القياسي الثلاثي a · (b × c).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
لخط متجه اتجاه d = (1, 2, 2). ولمستوٍ متجه عمودي n = (2, −1, 2). أوجد الزاوية بين الخط والمستوي.
[5 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط متجه اتجاه d = (1, 2, 2). ولمستوٍ متجه عمودي n = (2, −1, 2). أوجد الزاوية بين الخط والمستوي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 7.
لخط معادلة متجهة r = (1, 0, 2) + t(1, 1, −1). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوي x + 2y − z = 3.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلة متجهة r = (1, 0, 2) + t(1, 1, −1). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوي x + 2y − z = 3.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
حل sin(x + 30°) = 0.5 لِـ 0° ≤ x < 360°.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل sin(x + 30°) = 0.5 لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
حل cos(2x) = cos(x) لِـ 0° ≤ x < 360°.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل cos(2x) = cos(x) لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] · بدون آلة حاسبة - 13.
أوجد المسافة من النقطة (1, 2, 3) إلى المستوي 2x − y + 2z = 5.
[5 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المسافة من النقطة (1, 2, 3) إلى المستوي 2x − y + 2z = 5.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 15.
أثبت المتطابقة sec θ − cos θ = sin θ tan θ.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت المتطابقة sec θ − cos θ = sin θ tan θ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
بالنظر إلى أن cos A = 3/5 مع A حادة، وsin B = 5/13 مع B حادة، أوجد القيمة الدقيقة لـ sin(A + B).
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى أن cos A = 3/5 مع A حادة، وsin B = 5/13 مع B حادة، أوجد القيمة الدقيقة لـ sin(A + B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
أوجد الزاوية بين المستويين x + 2y − z = 3 وَ2x − y + z = 5، باستخدام عموديهما.
[5 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المستويين x + 2y − z = 3 وَ2x − y + z = 5، باستخدام عموديهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 21.
أوجد معادلة متجهة لخط يمر بالنقطتين A(1, 2, −1) وB(3, −1, 2).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة متجهة لخط يمر بالنقطتين A(1, 2, −1) وB(3, −1, 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 23.
أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 0, 2) إلى الخط ذي المعادلة المتجهة r = (0, 1, 0) + t(1, 1, 0).
[5 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 0, 2) إلى الخط ذي المعادلة المتجهة r = (0, 1, 0) + t(1, 1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 25.
اكتب 3 sin x + 4 cos x بالصورة R sin(x + α)، حيث R > 0 و0° < α < 90°، مع كتابة R بدقة وα لمنزلة عشرية واحدة.
[5 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب 3 sin x + 4 cos x بالصورة R sin(x + α)، حيث R > 0 و0° < α < 90°، مع كتابة R بدقة وα لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 27.
حل sec x = 2 لِـ 0° ≤ x < 360°.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل sec x = 2 لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 29.
أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 0, 1)، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 0, 1)، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة]