الرياضيات AA: المستوى العالي

1. 1.

   يشكّل المتجهان a = (1, 2, 3) وb = (0, 1, 4) ضلعين لمتوازي أضلاع. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الجداء الاتجاهي a × b = (2(4) − 3(1), 3(0) − 1(4), 1(1) − 2(0)) = (5, −4, 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المقدار |a × b| = √(5² + (−4)² + 1²) = √42. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المساحة بأنها √42 (≈ 6.48) وحدة مربعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعطي مقدار الجداء الاتجاهي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتد بين المتجهين مباشرة؛ نصّفه إذا طلب السؤال بدلاً من ذلك مساحة المثلث الذي يشكلانه.

   نقاط التصحيح

   • كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.
   • حساب الجداء الاتجاهي a × b = (2(4) − 3(1), 3(0) − 1(4), 1(1) − 2(0)) = (5, −4, 1).
   • حساب المقدار |a × b| = √(5² + (−4)² + 1²) = √42.
   • كتابة المساحة بأنها √42 (≈ 6.48) وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: يعطي مقدار الجداء الاتجاهي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتد بين المتجهين مباشرة؛ نصّفه إذا طلب السؤال بدلاً من ذلك مساحة المثلث الذي يشكلانه.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يشكّل المتجهان a = (1, 2, 3) وb = (0, 1, 4) ضلعين لمتوازي أضلاع. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي a × b = (2(4) − 3(1), 3(0) − 1(4), 1(1) − 2(0)) = (5, −4, 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب المقدار |a × b| = √(5² + (−4)² + 1²) = √42. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المساحة بأنها √42 (≈ 6.48) وحدة مربعة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي |a × b|.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي a × b = (2(4) − 3(1), 3(0) − 1(4), 1(1) − 2(0)) = (5, −4, 1).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب المقدار |a × b| = √(5² + (−4)² + 1²) = √42.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المساحة بأنها √42 (≈ 6.48) وحدة مربعة.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   تحدد المتجهات a = (2, 1, 0)، وb = (1, 3, 0)، وc = (0, 0, 4) أضلاع متوازي سطوح من رأس مشترك. أوجد حجمه باستخدام الجداء القياسي الثلاثي a · (b × c).

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الجداء القياسي a · (b × c) = 2(12) + 1(−4) + 0(0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على a · (b × c) = 20. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحجم بأنه القيمة المطلقة للجداء القياسي الثلاثي، 20 وحدة مكعبة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمكن أن يكون الجداء القياسي الثلاثي سالباً حسب ترتيب المتجهات، لكن الحجم هو دائماً القيمة المطلقة للناتج — لا تترك إشارة سالبة في إجابة الحجم النهائية.

   نقاط التصحيح

   • حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0).
   • حساب الجداء القياسي a · (b × c) = 2(12) + 1(−4) + 0(0).
   • الحصول على a · (b × c) = 20.
   • كتابة الحجم بأنه القيمة المطلقة للجداء القياسي الثلاثي، 20 وحدة مكعبة.

   ملاحظة الفاحص: يمكن أن يكون الجداء القياسي الثلاثي سالباً حسب ترتيب المتجهات، لكن الحجم هو دائماً القيمة المطلقة للناتج — لا تترك إشارة سالبة في إجابة الحجم النهائية.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تحدد المتجهات a = (2, 1, 0)، وb = (1, 3, 0)، وc = (0, 0, 4) أضلاع متوازي سطوح من رأس مشترك. أوجد حجمه باستخدام الجداء القياسي الثلاثي a · (b × c).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء القياسي a · (b × c) = 2(12) + 1(−4) + 0(0). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a · (b × c) = 20. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحجم بأنه القيمة المطلقة للجداء القياسي الثلاثي، 20 وحدة مكعبة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب b × c = (3(4) − 0(0), 0(0) − 1(4), 1(0) − 3(0)) = (12, −4, 0).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء القياسي a · (b × c) = 2(12) + 1(−4) + 0(0).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a · (b × c) = 20.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحجم بأنه القيمة المطلقة للجداء القياسي الثلاثي، 20 وحدة مكعبة.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   لخط متجه اتجاه d = (1, 2, 2). ولمستوٍ متجه عمودي n = (2, −1, 2). أوجد الزاوية بين الخط والمستوي.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب d · n = 1(2) + 2(−1) + 2(2) = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |d| = 3 و|n| = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على sin θ = 4/9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة θ ≈ 26.4°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تستخدم الزاوية بين خط ومستوٍ الجيب ومتجه اتجاه الخط مع عمودي المستوي — يسهل الخلط بين هذا وبين الزاوية بين مستويين، التي تستخدم جيب التمام والعموديين مباشرة.

   نقاط التصحيح

   • كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|).
   • حساب d · n = 1(2) + 2(−1) + 2(2) = 4.
   • حساب |d| = 3 و|n| = 3.
   • الحصول على sin θ = 4/9.
   • كتابة θ ≈ 26.4°.

   ملاحظة الفاحص: تستخدم الزاوية بين خط ومستوٍ الجيب ومتجه اتجاه الخط مع عمودي المستوي — يسهل الخلط بين هذا وبين الزاوية بين مستويين، التي تستخدم جيب التمام والعموديين مباشرة.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط متجه اتجاه d = (1, 2, 2). ولمستوٍ متجه عمودي n = (2, −1, 2). أوجد الزاوية بين الخط والمستوي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب d · n = 1(2) + 2(−1) + 2(2) = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب |d| = 3 و|n| = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على sin θ = 4/9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة θ ≈ 26.4°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة أن الزاوية θ بين خط ومستوٍ تحقق sin θ = |d · n| / (|d||n|).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب d · n = 1(2) + 2(−1) + 2(2) = 4.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب |d| = 3 و|n| = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على sin θ = 4/9.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة θ ≈ 26.4°.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   لخط معادلة متجهة r = (1, 0, 2) + t(1, 1, −1). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوي x + 2y − z = 3.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض هذه في معادلة المستوي: (1 + t) + 2(t) − (2 − t) = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط للحصول على 4t − 1 = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل لإيجاد t = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض العكسي بـt = 1 في الخط للحصول على نقطة التقاطع (2, 1, 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عوّض دائماً الإحداثيات البارامترية في المعادلة الديكارتية للمستوي، وحل للبارامتر t، ثم عوّض عكسياً — الخطأ الشائع هو التوقف عند قيمة t بدل إيجاد النقطة الفعلية.

   نقاط التصحيح

   • كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t.
   • تعويض هذه في معادلة المستوي: (1 + t) + 2(t) − (2 − t) = 3.
   • التبسيط للحصول على 4t − 1 = 3.
   • الحل لإيجاد t = 1.
   • التعويض العكسي بـt = 1 في الخط للحصول على نقطة التقاطع (2, 1, 1).

   ملاحظة الفاحص: عوّض دائماً الإحداثيات البارامترية في المعادلة الديكارتية للمستوي، وحل للبارامتر t، ثم عوّض عكسياً — الخطأ الشائع هو التوقف عند قيمة t بدل إيجاد النقطة الفعلية.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخط معادلة متجهة r = (1, 0, 2) + t(1, 1, −1). أوجد نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوي x + 2y − z = 3.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض هذه في معادلة المستوي: (1 + t) + 2(t) − (2 − t) = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على 4t − 1 = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحل لإيجاد t = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي بـt = 1 في الخط للحصول على نقطة التقاطع (2, 1, 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الإحداثيات البارامترية للخط: x = 1 + t، y = t، z = 2 − t.
   • يحدد المتطلب الناقص: تعويض هذه في معادلة المستوي: (1 + t) + 2(t) − (2 − t) = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على 4t − 1 = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحل لإيجاد t = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض العكسي بـt = 1 في الخط للحصول على نقطة التقاطع (2, 1, 1).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   حل sin(x + 30°) = 0.5 لِـ 0° ≤ x < 360°.

   [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع x + 30° = 30° وx + 30° = 150° كحالتين ضمن دورة كاملة واحدة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل الحالة الأولى للحصول على x = 0°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل الحالة الثانية للحصول على x = 120°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من عدم وجود حلول أخرى ضمن 0° ≤ x < 360° وكتابة الإجابتين النهائيتين x = 0°، 120°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أزح الفترة لتناسب الزاوية المركبة (هنا x + 30°) قبل كتابة الحلول العامة، ثم حوّل عودة إلى x في النهاية فقط.

   نقاط التصحيح

   • كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°).
   • وضع x + 30° = 30° وx + 30° = 150° كحالتين ضمن دورة كاملة واحدة.
   • حل الحالة الأولى للحصول على x = 0°.
   • حل الحالة الثانية للحصول على x = 120°.
   • التحقق من عدم وجود حلول أخرى ضمن 0° ≤ x < 360° وكتابة الإجابتين النهائيتين x = 0°، 120°.

   ملاحظة الفاحص: أزح الفترة لتناسب الزاوية المركبة (هنا x + 30°) قبل كتابة الحلول العامة، ثم حوّل عودة إلى x في النهاية فقط.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل sin(x + 30°) = 0.5 لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع x + 30° = 30° وx + 30° = 150° كحالتين ضمن دورة كاملة واحدة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الأولى للحصول على x = 0°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الثانية للحصول على x = 120°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: التحقق من عدم وجود حلول أخرى ضمن 0° ≤ x < 360° وكتابة الإجابتين النهائيتين x = 0°، 120°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة الحلول العامة لـsin θ = 0.5 بأنها θ = 30° أو θ = 150° (بالإضافة إلى مضاعفات 360°).
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع x + 30° = 30° وx + 30° = 150° كحالتين ضمن دورة كاملة واحدة.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الأولى للحصول على x = 0°.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل الحالة الثانية للحصول على x = 120°.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق من عدم وجود حلول أخرى ضمن 0° ≤ x < 360° وكتابة الإجابتين النهائيتين x = 0°، 120°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    حل cos(2x) = cos(x) لِـ 0° ≤ x < 360°.

    [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على 2cos²x − 1 = cos x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية في cos x: 2cos²x − cos x − 1 = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحليل إلى (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل cos x = 1 للحصول على x = 0°، وcos x = −1/2 للحصول على x = 120° أو x = 240°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة مجموعة الحل الكاملة x = 0°، 120°، 240°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: كلما اختلطت معادلة تضم cos(2x) وcos(x)، أعد كتابة cos(2x) باستخدام متطابقة الزاوية المضاعفة لتحويلها إلى معادلة تربيعية واحدة في cos x بدل محاولة حلها مباشرة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1.
    • التعويض للحصول على 2cos²x − 1 = cos x.
    • إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية في cos x: 2cos²x − cos x − 1 = 0.
    • التحليل إلى (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0.
    • حل cos x = 1 للحصول على x = 0°، وcos x = −1/2 للحصول على x = 120° أو x = 240°.
    • كتابة مجموعة الحل الكاملة x = 0°، 120°، 240°.

    ملاحظة الفاحص: كلما اختلطت معادلة تضم cos(2x) وcos(x)، أعد كتابة cos(2x) باستخدام متطابقة الزاوية المضاعفة لتحويلها إلى معادلة تربيعية واحدة في cos x بدل محاولة حلها مباشرة.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل cos(2x) = cos(x) لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 2cos²x − 1 = cos x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية في cos x: 2cos²x − cos x − 1 = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التحليل إلى (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: حل cos x = 1 للحصول على x = 0°، وcos x = −1/2 للحصول على x = 120° أو x = 240°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجموعة الحل الكاملة x = 0°، 120°، 240°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2x) = 2cos²x − 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 2cos²x − 1 = cos x.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب إلى معادلة تربيعية في cos x: 2cos²x − cos x − 1 = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحليل إلى (2cos x + 1)(cos x − 1) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل cos x = 1 للحصول على x = 0°، وcos x = −1/2 للحصول على x = 120° أو x = 240°.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة مجموعة الحل الكاملة x = 0°، 120°، 240°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    أوجد المسافة من النقطة (1, 2, 3) إلى المستوي 2x − y + 2z = 5.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض النقطة ومعاملات المستوي: |2(1) − 1(2) + 2(3) − 5| / √(2² + (−1)² + 2²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط البسط إلى |2 − 2 + 6 − 5| = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تبسيط المقام إلى √9 = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المسافة بأنها 1/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تأتي معاملات المتجه العمودي للمستوي (a, b, c) مباشرة من المعادلة الديكارتية — اكتب المستوي بالصورة ax + by + cz = k أولاً إن كان معطى بترتيب مختلف.

    نقاط التصحيح

    • كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k.
    • تعويض النقطة ومعاملات المستوي: |2(1) − 1(2) + 2(3) − 5| / √(2² + (−1)² + 2²).
    • تبسيط البسط إلى |2 − 2 + 6 − 5| = 1.
    • تبسيط المقام إلى √9 = 3.
    • كتابة المسافة بأنها 1/3.

    ملاحظة الفاحص: تأتي معاملات المتجه العمودي للمستوي (a, b, c) مباشرة من المعادلة الديكارتية — اكتب المستوي بالصورة ax + by + cz = k أولاً إن كان معطى بترتيب مختلف.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد المسافة من النقطة (1, 2, 3) إلى المستوي 2x − y + 2z = 5.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض النقطة ومعاملات المستوي: |2(1) − 1(2) + 2(3) − 5| / √(2² + (−1)² + 2²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط البسط إلى |2 − 2 + 6 − 5| = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تبسيط المقام إلى √9 = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المسافة بأنها 1/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة المسافة من نقطة إلى مستوٍ d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²) لمستوٍ ax + by + cz = k.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض النقطة ومعاملات المستوي: |2(1) − 1(2) + 2(3) − 5| / √(2² + (−1)² + 2²).
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط البسط إلى |2 − 2 + 6 − 5| = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تبسيط المقام إلى √9 = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المسافة بأنها 1/3.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    أثبت المتطابقة sec θ − cos θ = sin θ tan θ.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع الحدين على مقام مشترك: (1 − cos²θ)/cos θ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام متطابقة فيثاغورس 1 − cos²θ = sin²θ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة كتابة sin²θ/cos θ بصورة sin θ · (sin θ/cos θ). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن sin θ/cos θ تساوي tan θ، للحصول على sin θ tan θ، وهو يساوي الطرف الأيمن. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يبدأ إثبات متطابقة مثلثية غالباً بتحويل sec وcsc وcot إلى تعابير باستخدام sin وcos فقط، ثم جمع الكسور على مقام مشترك.

    نقاط التصحيح

    • إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر.
    • جمع الحدين على مقام مشترك: (1 − cos²θ)/cos θ.
    • استخدام متطابقة فيثاغورس 1 − cos²θ = sin²θ.
    • إعادة كتابة sin²θ/cos θ بصورة sin θ · (sin θ/cos θ).
    • تحديد أن sin θ/cos θ تساوي tan θ، للحصول على sin θ tan θ، وهو يساوي الطرف الأيمن.

    ملاحظة الفاحص: يبدأ إثبات متطابقة مثلثية غالباً بتحويل sec وcsc وcot إلى تعابير باستخدام sin وcos فقط، ثم جمع الكسور على مقام مشترك.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت المتطابقة sec θ − cos θ = sin θ tan θ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: جمع الحدين على مقام مشترك: (1 − cos²θ)/cos θ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام متطابقة فيثاغورس 1 − cos²θ = sin²θ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: إعادة كتابة sin²θ/cos θ بصورة sin θ · (sin θ/cos θ). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن sin θ/cos θ تساوي tan θ، للحصول على sin θ tan θ، وهو يساوي الطرف الأيمن. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة كتابة sec θ بصورة 1/cos θ في الطرف الأيسر.
    • يحدد المتطلب الناقص: جمع الحدين على مقام مشترك: (1 − cos²θ)/cos θ.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام متطابقة فيثاغورس 1 − cos²θ = sin²θ.
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة كتابة sin²θ/cos θ بصورة sin θ · (sin θ/cos θ).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن sin θ/cos θ تساوي tan θ، للحصول على sin θ tan θ، وهو يساوي الطرف الأيمن.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    بالنظر إلى أن cos A = 3/5 مع A حادة، وsin B = 5/13 مع B حادة، أوجد القيمة الدقيقة لـ sin(A + B).

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد cos B = 12/13، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (5, 12, 13). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة الزاوية المركبة sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض (4/5)(12/13) + (3/5)(5/13). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على sin(A + B) = 63/65. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يعطي التعرف على 3-4-5 و5-12-13 كثلاثيتي فيثاغورس نسبة الضلع المفقود فوراً دون الحاجة إلى آلة حاسبة أو جذور تربيعية — نمط يستحق الحفظ.

    نقاط التصحيح

    • إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5).
    • إيجاد cos B = 12/13، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (5, 12, 13).
    • كتابة صيغة الزاوية المركبة sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
    • تعويض (4/5)(12/13) + (3/5)(5/13).
    • الحصول على sin(A + B) = 63/65.

    ملاحظة الفاحص: يعطي التعرف على 3-4-5 و5-12-13 كثلاثيتي فيثاغورس نسبة الضلع المفقود فوراً دون الحاجة إلى آلة حاسبة أو جذور تربيعية — نمط يستحق الحفظ.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى أن cos A = 3/5 مع A حادة، وsin B = 5/13 مع B حادة، أوجد القيمة الدقيقة لـ sin(A + B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد cos B = 12/13، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (5, 12, 13). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة الزاوية المركبة sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تعويض (4/5)(12/13) + (3/5)(5/13). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على sin(A + B) = 63/65. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إيجاد sin A = 4/5، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (3, 4, 5).
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد cos B = 12/13، باستخدام ثلاثية فيثاغورس (5, 12, 13).
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة صيغة الزاوية المركبة sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض (4/5)(12/13) + (3/5)(5/13).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على sin(A + B) = 63/65.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    أوجد الزاوية بين المستويين x + 2y − z = 3 وَ2x − y + z = 5، باستخدام عموديهما.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب n₁ · n₂ = 1(2) + 2(−1) + (−1)(1) = −1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |n₁| = √6 و|n₂| = √6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|) = 1/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على θ ≈ 80.4°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تستخدم الزاوية بين مستويين صيغة جيب التمام مطبقة مباشرة على متجهيهما العموديين — وهذا النظير لصيغة الجيب المستخدمة للزاوية بين خط ومستوٍ.

    نقاط التصحيح

    • تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين.
    • حساب n₁ · n₂ = 1(2) + 2(−1) + (−1)(1) = −1.
    • حساب |n₁| = √6 و|n₂| = √6.
    • استخدام cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|) = 1/6.
    • الحصول على θ ≈ 80.4°.

    ملاحظة الفاحص: تستخدم الزاوية بين مستويين صيغة جيب التمام مطبقة مباشرة على متجهيهما العموديين — وهذا النظير لصيغة الجيب المستخدمة للزاوية بين خط ومستوٍ.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المستويين x + 2y − z = 3 وَ2x − y + z = 5، باستخدام عموديهما.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب n₁ · n₂ = 1(2) + 2(−1) + (−1)(1) = −1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب |n₁| = √6 و|n₂| = √6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|) = 1/6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 80.4°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المتجهين العموديين n₁ = (1, 2, −1) وn₂ = (2, −1, 1) من معادلتي المستويين.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب n₁ · n₂ = 1(2) + 2(−1) + (−1)(1) = −1.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب |n₁| = √6 و|n₂| = √6.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|) = 1/6.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 80.4°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    أوجد معادلة متجهة لخط يمر بالنقطتين A(1, 2, −1) وB(3, −1, 2).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام النقطة A = (1, 2, −1) كنقطة ثابتة على الخط. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المعادلة المتجهة r = (1, 2, −1) + t(2, −3, 3)، t ∈ ℝ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يمكن استخدام أي نقطة على الخط كنقطة ثابتة، ويمكن استخدام الاتجاه A←B أو B←A كمتجه اتجاه — يمكن أن تصف معادلات متجهة صحيحة مختلفة الخط نفسه بالضبط.

    نقاط التصحيح

    • حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3).
    • استخدام النقطة A = (1, 2, −1) كنقطة ثابتة على الخط.
    • كتابة المعادلة المتجهة r = (1, 2, −1) + t(2, −3, 3)، t ∈ ℝ.

    ملاحظة الفاحص: يمكن استخدام أي نقطة على الخط كنقطة ثابتة، ويمكن استخدام الاتجاه A←B أو B←A كمتجه اتجاه — يمكن أن تصف معادلات متجهة صحيحة مختلفة الخط نفسه بالضبط.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد معادلة متجهة لخط يمر بالنقطتين A(1, 2, −1) وB(3, −1, 2).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام النقطة A = (1, 2, −1) كنقطة ثابتة على الخط. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المعادلة المتجهة r = (1, 2, −1) + t(2, −3, 3)، t ∈ ℝ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب متجه الاتجاه d = B − A = (2, −3, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام النقطة A = (1, 2, −1) كنقطة ثابتة على الخط.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المعادلة المتجهة r = (1, 2, −1) + t(2, −3, 3)، t ∈ ℝ.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 0, 2) إلى الخط ذي المعادلة المتجهة r = (0, 1, 0) + t(1, 1, 0).

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المتجه AP = P − A = (1, −1, 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الجداء الاتجاهي AP × d = (−2, 2, 2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام المسافة = |AP × d| / |d|. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مسافة = √6 (≈ 2.45 وحدة). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعمل صيغة المسافة بالجداء الاتجاهي هذه لأن |AP × d| تعطي مساحة متوازي الأضلاع الممتد بين AP وd، وتحوّل القسمة على طول القاعدة |d| تلك المساحة إلى الارتفاع العمودي — وهو بالضبط أقصر مسافة إلى الخط.

    نقاط التصحيح

    • تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).
    • حساب المتجه AP = P − A = (1, −1, 2).
    • حساب الجداء الاتجاهي AP × d = (−2, 2, 2).
    • استخدام المسافة = |AP × d| / |d|.
    • الحصول على مسافة = √6 (≈ 2.45 وحدة).

    ملاحظة الفاحص: تعمل صيغة المسافة بالجداء الاتجاهي هذه لأن |AP × d| تعطي مساحة متوازي الأضلاع الممتد بين AP وd، وتحوّل القسمة على طول القاعدة |d| تلك المساحة إلى الارتفاع العمودي — وهو بالضبط أقصر مسافة إلى الخط.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أقصر مسافة من النقطة P(1, 0, 2) إلى الخط ذي المعادلة المتجهة r = (0, 1, 0) + t(1, 1, 0).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب المتجه AP = P − A = (1, −1, 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي AP × d = (−2, 2, 2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام المسافة = |AP × d| / |d|. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مسافة = √6 (≈ 2.45 وحدة). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد نقطة على الخط A = (0, 1, 0) ومتجه اتجاهه d = (1, 1, 0).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب المتجه AP = P − A = (1, −1, 2).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي AP × d = (−2, 2, 2).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام المسافة = |AP × d| / |d|.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مسافة = √6 (≈ 2.45 وحدة).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    اكتب 3 sin x + 4 cos x بالصورة R sin(x + α)، حيث R > 0 و0° < α < 90°، مع كتابة R بدقة وα لمنزلة عشرية واحدة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على R = 5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة أن tan α = b/a = 4/3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على α ≈ 53.1°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.1°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُعد صيغة R sin(x + α) هذه مفيدة خصوصاً لإيجاد القيمتين العظمى والصغرى لتعبير مثل a sin x + b cos x مباشرة، لأن R هي بالضبط تلك القيمة العظمى (و−R القيمة الصغرى).

    نقاط التصحيح

    • كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4.
    • الحصول على R = 5.
    • كتابة أن tan α = b/a = 4/3.
    • الحصول على α ≈ 53.1°.
    • كتابة 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.1°).

    ملاحظة الفاحص: تُعد صيغة R sin(x + α) هذه مفيدة خصوصاً لإيجاد القيمتين العظمى والصغرى لتعبير مثل a sin x + b cos x مباشرة، لأن R هي بالضبط تلك القيمة العظمى (و−R القيمة الصغرى).

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «اكتب 3 sin x + 4 cos x بالصورة R sin(x + α)، حيث R > 0 و0° < α < 90°، مع كتابة R بدقة وα لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على R = 5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة أن tan α = b/a = 4/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على α ≈ 53.1°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: كتابة 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.1°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة R = √(a² + b²)، حيث a = 3، b = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على R = 5.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة أن tan α = b/a = 4/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على α ≈ 53.1°.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + 53.1°).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    حل sec x = 2 لِـ 0° ≤ x < 360°.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الحلول العامة حيث cos x = 1/2 ضمن دورة واحدة: x = 60° وx = 360° − 60° = 300°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الإجابتين النهائيتين x = 60°، 300°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: حوّل دائماً الدوال المثلثية العكسية (sec، csc، cot) إلى sin أو cos أو tan قبل الحل — يتجنب هذا الأخطاء ويتيح تطبيق نمط حل دائرة الوحدة المألوف مباشرة.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2.
    • كتابة الحلول العامة حيث cos x = 1/2 ضمن دورة واحدة: x = 60° وx = 360° − 60° = 300°.
    • كتابة الإجابتين النهائيتين x = 60°، 300°.

    ملاحظة الفاحص: حوّل دائماً الدوال المثلثية العكسية (sec، csc، cot) إلى sin أو cos أو tan قبل الحل — يتجنب هذا الأخطاء ويتيح تطبيق نمط حل دائرة الوحدة المألوف مباشرة.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل sec x = 2 لِـ 0° ≤ x < 360°.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحلول العامة حيث cos x = 1/2 ضمن دورة واحدة: x = 60° وx = 360° − 60° = 300°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابتين النهائيتين x = 60°، 300°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن sec x = 1/cos x، لذا cos x = 1/2.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحلول العامة حيث cos x = 1/2 ضمن دورة واحدة: x = 60° وx = 360° − 60° = 300°.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الإجابتين النهائيتين x = 60°، 300°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 0, 1)، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |a| = 5 و|b| = √2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|) = 3/(5√2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على θ ≈ 64.9°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعمل صيغة الجداء القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين في أي عدد من الأبعاد — تنطبق العلاقة نفسها cos θ = (a·b)/(|a||b|) سواء كان المتجهان في بُعدين أو ثلاثة أو أكثر.

    نقاط التصحيح

    • حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3.
    • حساب |a| = 5 و|b| = √2.
    • استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|) = 3/(5√2).
    • الحصول على θ ≈ 64.9°.

    ملاحظة الفاحص: تعمل صيغة الجداء القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين في أي عدد من الأبعاد — تنطبق العلاقة نفسها cos θ = (a·b)/(|a||b|) سواء كان المتجهان في بُعدين أو ثلاثة أو أكثر.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية بين المتجهين a = (3, 4, 0) وb = (1, 0, 1)، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب |a| = 5 و|b| = √2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|) = 3/(5√2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 64.9°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب a · b = 3(1) + 4(0) + 0(1) = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب |a| = 5 و|b| = √2.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|) = 3/(5√2).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 64.9°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.