الرياضيات AA: المستوى العادي
الدوال — الموضوع 2
- 1.
الدالة f(x) = x² − 4x + 7 معرفة لكل قيم x الحقيقية. اكتب الدالة بصيغة إكمال المربع، ثم حدد إحداثيات الرأس والقيمة الصغرى للدالة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الدالة f(x) = x² − 4x + 7 معرفة لكل قيم x الحقيقية. اكتب الدالة بصيغة إكمال المربع، ثم حدد إحداثيات الرأس والقيمة الصغرى للدالة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوصل بشكل صحيح إلى f(x) = (x − 2)² + 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
يُمثَّل عدد السكان بالنموذج P(t) = 1200(1.08)^t، حيث t عدد السنوات الكاملة بعد بداية عام 2026. أوجد أول قيمة لـ t يصبح عندها عدد السكان أكبر من 2000، مع توضيح الطريقة.
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُمثَّل عدد السكان بالنموذج P(t) = 1200(1.08)^t، حيث t عدد السنوات الكاملة بعد بداية عام 2026. أوجد أول قيمة لـ t يصبح عندها عدد السكان أكبر من 2000، مع توضيح الطريقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إنشاء المتباينة 1200(1.08)^t > 2000 أو المعادلة المقابلة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0. اكتب الإجابة بصيغة الفترة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0. اكتب الإجابة بصيغة الفترة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التحليل إلى (x − 2)(x − 3) ≤ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
الدالة f(x) = 3x − 2 معرفة لكل قيم x الحقيقية. أوجد f⁻¹(x) وحدد مجالها.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الدالة f(x) = 3x − 2 معرفة لكل قيم x الحقيقية. أوجد f⁻¹(x) وحدد مجالها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع y = 3x − 2 وتبديل x وy (أو طريقة مكافئة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
لتكن f(x) = 2x + 1 وg(x) = x². أوجد تعبيراً للدالة المركبة (f ∘ g)(x) واحسب قيمة (f ∘ g)(3).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لتكن f(x) = 2x + 1 وg(x) = x². أوجد تعبيراً للدالة المركبة (f ∘ g)(x) واحسب قيمة (f ∘ g)(3).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 11.
حل المعادلة log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 لإيجاد x، مع توضيح سبب رفض أحد الحلول الجبرية.
[5 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 لإيجاد x، مع توضيح سبب رفض أحد الحلول الجبرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 13.
تنمو مزرعة بكتيريا وفق N(t) = 500(2)^(t/3)، حيث t بالساعات. أوجد عدد البكتيريا الابتدائي واحسب المدة اللازمة ليصل العدد إلى 4000.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تنمو مزرعة بكتيريا وفق N(t) = 500(2)^(t/3)، حيث t بالساعات. أوجد عدد البكتيريا الابتدائي واحسب المدة اللازمة ليصل العدد إلى 4000.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
يُحوَّل الرسم البياني للدالة y = f(x) للحصول على الرسم البياني للدالة y = f(x − 2) + 3. صِف التحويل الهندسي المطبق على رسم الدالة f بشكل كامل.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل الرسم البياني للدالة y = f(x) للحصول على الرسم البياني للدالة y = f(x − 2) + 3. صِف التحويل الهندسي المطبق على رسم الدالة f بشكل كامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
حل المعادلة e^(2x) = 15، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية.
[3 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة e^(2x) = 15، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 19.
أوجد أكبر مجال ممكن للدالة f(x) = √(x − 3)، وحدد المدى المقابل له.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أكبر مجال ممكن للدالة f(x) = √(x − 3)، وحدد المدى المقابل له.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 21.
للمعادلة التربيعية kx² + 4x + 1 = 0 جذران حقيقيان متساويان. أوجد قيمة k.
[3 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التربيعية kx² + 4x + 1 = 0 جذران حقيقيان متساويان. أوجد قيمة k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 23.
لقطع مكافئ رأس (1, −4) ويمر بالنقطة (3, 4). أوجد معادلة القطع المكافئ بالصورة y = a(x − h)² + k.
[4 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقطع مكافئ رأس (1, −4) ويمر بالنقطة (3, 4). أوجد معادلة القطع المكافئ بالصورة y = a(x − h)² + k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 25.
تضمحل عينة مشعة وفق النموذج M(t) = 80e^(−0.05t)، حيث M الكتلة بالغرام وt الزمن بالسنوات. أوجد الكتلة الابتدائية، واحسب الزمن اللازم لاضمحلال الكتلة إلى 20 غراماً.
[4 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تضمحل عينة مشعة وفق النموذج M(t) = 80e^(−0.05t)، حيث M الكتلة بالغرام وt الزمن بالسنوات. أوجد الكتلة الابتدائية، واحسب الزمن اللازم لاضمحلال الكتلة إلى 20 غراماً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 27.
حل المعادلة 2ln(x) − ln(x − 1) = ln(4) لإيجاد x، علماً أن x > 1.
[5 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 2ln(x) − ln(x − 1) = ln(4) لإيجاد x، علماً أن x > 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 29.
حدد مجال الدالة f(x) = 1/(x − 3)، واكتب معادلتي خطيها المقاربين الرأسي والأفقي.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد مجال الدالة f(x) = 1/(x − 3)، واكتب معادلتي خطيها المقاربين الرأسي والأفقي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 31.
f(x) = 3x - 5 عندما x >= 2. أوجد الدالة العكسية وحدّد مجالها.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = 3x - 5 عندما x >= 2. أوجد الدالة العكسية وحدّد مجالها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مدى f هو y >= 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة