الرياضيات AA: المستوى العادي

1. 1.

   الدالة f(x) = x² − 4x + 7 معرفة لكل قيم x الحقيقية. اكتب الدالة بصيغة إكمال المربع، ثم حدد إحداثيات الرأس والقيمة الصغرى للدالة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ابدأ بتجميع حدود x: ‏x² − 4x + 7 = (x² − 4x) + 7.
   2. أكمل المربع: ‏x² − 4x = (x − 2)² − 4، لذلك f(x) = (x − 2)² − 4 + 7.
   3. بسّط إلى f(x) = (x − 2)² + 3. وبما أن الحد المربع لا يكون سالباً، تحدث القيمة الصغرى عندما x = 2.
   4. عند x = 2 تكون f(x) = 3، إذن الرأس هو (2، 3) والقيمة الصغرى هي 3.

   نقاط التصحيح

   • التوصل بشكل صحيح إلى f(x) = (x − 2)² + 3.
   • تحديد الرأس بالنقطة (2، 3).
   • تحديد القيمة الصغرى وهي 3.

   ملاحظة الفاحص: استخدم صيغة إكمال المربع لاستخراج الإجابتين مباشرة، ولا تستخدم التفاضل ما لم يُطلب ذلك.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الدالة f(x) = x² − 4x + 7 معرفة لكل قيم x الحقيقية. اكتب الدالة بصيغة إكمال المربع، ثم حدد إحداثيات الرأس والقيمة الصغرى للدالة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوصل بشكل صحيح إلى f(x) = (x − 2)² + 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التوصل بشكل صحيح إلى f(x) = (x − 2)² + 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الرأس بالنقطة (2، 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمة الصغرى وهي 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التوصل بشكل صحيح إلى f(x) = (x − 2)² + 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الرأس بالنقطة (2، 3).
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمة الصغرى وهي 3.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   يُمثَّل عدد السكان بالنموذج P(t) = 1200(1.08)^t، حيث t عدد السنوات الكاملة بعد بداية عام 2026. أوجد أول قيمة لـ t يصبح عندها عدد السكان أكبر من 2000، مع توضيح الطريقة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. يتجاوز عدد السكان 2000 لأول مرة عندما 1200(1.08)^t > 2000.
   2. اقسم الطرفين على 1200 لتحصل على (1.08)^t > 2000/1200.
   3. خذ اللوغاريتم الطبيعي: ‏t ln(1.08) > ln(2000/1200)، لذلك t > ln(2000/1200) / ln(1.08).
   4. يعطي ذلك t > 6.64 تقريباً. وبما أن t تمثل سنوات كاملة، فإن أول قيمة صحيحة هي t = 7.

   نقاط التصحيح

   • إنشاء المتباينة 1200(1.08)^t > 2000 أو المعادلة المقابلة.
   • استخدام اللوغاريتمات: t > ln(2000/1200) ÷ ln(1.08).
   • التوصل إلى t > 6.64 تقريباً.
   • تحديد أول سنة كاملة: t = 7.

   ملاحظة الفاحص: السؤال يطلب سنوات كاملة، لذلك يجب تقريب الحل العشري إلى العدد الصحيح الأعلى.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُمثَّل عدد السكان بالنموذج P(t) = 1200(1.08)^t، حيث t عدد السنوات الكاملة بعد بداية عام 2026. أوجد أول قيمة لـ t يصبح عندها عدد السكان أكبر من 2000، مع توضيح الطريقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إنشاء المتباينة 1200(1.08)^t > 2000 أو المعادلة المقابلة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إنشاء المتباينة 1200(1.08)^t > 2000 أو المعادلة المقابلة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام اللوغاريتمات: t > ln(2000/1200) ÷ ln(1.08). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التوصل إلى t > 6.64 تقريباً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أول سنة كاملة: t = 7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إنشاء المتباينة 1200(1.08)^t > 2000 أو المعادلة المقابلة.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام اللوغاريتمات: t > ln(2000/1200) ÷ ln(1.08).
   • يحدد المتطلب الناقص: التوصل إلى t > 6.64 تقريباً.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أول سنة كاملة: t = 7.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0. اكتب الإجابة بصيغة الفترة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. حلّل المقدار التربيعي: ‏x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
   2. القيم الحرجة هي x = 2 وx = 3، حيث يساوي المقدار صفراً.
   3. لأن معامل x² موجب، يفتح القطع المكافئ لأعلى، لذلك يكون المقدار أقل من أو يساوي الصفر بين الجذرين.
   4. أدرج الطرفين لأن المتباينة هي ≤ 0، فيكون الحل [2, 3].

   نقاط التصحيح

   • التحليل إلى (x − 2)(x − 3) ≤ 0.
   • تحديد القيمتين الحرجتين x = 2 وx = 3.
   • كتابة الحل بصيغة الفترة: [2, 3] (أي 2 ≤ x ≤ 3).

   ملاحظة الفاحص: الدالة التربيعية ذات المعامل الرئيسي الموجب والجذرين الحقيقيين المختلفين سالبة بين الجذرين وتساوي صفراً عندهما. أدرج الطرفين عند استخدام ≤ 0.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0. اكتب الإجابة بصيغة الفترة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التحليل إلى (x − 2)(x − 3) ≤ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التحليل إلى (x − 2)(x − 3) ≤ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمتين الحرجتين x = 2 وx = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل بصيغة الفترة: [2, 3] (أي 2 ≤ x ≤ 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التحليل إلى (x − 2)(x − 3) ≤ 0.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد القيمتين الحرجتين x = 2 وx = 3.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الحل بصيغة الفترة: [2, 3] (أي 2 ≤ x ≤ 3).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   الدالة f(x) = 3x − 2 معرفة لكل قيم x الحقيقية. أوجد f⁻¹(x) وحدد مجالها.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. تعكس الدالة العكسية علاقة المدخل بالمخرج. اكتب y = 3x - 2 ثم بدّل المدخل والمخرج: x = 3y - 2.
   2. أضف 2 إلى الطرفين واقسم على 3: y = (x + 2)/3. هذه f⁻¹(x).
   3. يشمل مدى المستقيم الأصلي غير الأفقي جميع الأعداد الحقيقية، لذا تقبل العكسية كل مدخل حقيقي. تحقق من f((x + 2)/3) = x.

   نقاط التصحيح

   • وضع y = 3x − 2 وتبديل x وy (أو طريقة مكافئة).
   • إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = (x + 2)/3.
   • تحديد مجال f⁻¹ بأنه جميع الأعداد الحقيقية.

   ملاحظة الفاحص: هنا ميل الدالة الخطية غير صفري ومجالها ℝ، لذا فإن مداها ومجال دالتها العكسية كلاهما ℝ.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «الدالة f(x) = 3x − 2 معرفة لكل قيم x الحقيقية. أوجد f⁻¹(x) وحدد مجالها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع y = 3x − 2 وتبديل x وy (أو طريقة مكافئة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع y = 3x − 2 وتبديل x وy (أو طريقة مكافئة). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = (x + 2)/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد مجال f⁻¹ بأنه جميع الأعداد الحقيقية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع y = 3x − 2 وتبديل x وy (أو طريقة مكافئة).
   • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على f⁻¹(x) = (x + 2)/3.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد مجال f⁻¹ بأنه جميع الأعداد الحقيقية.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   لتكن f(x) = 2x + 1 وg(x) = x². أوجد تعبيراً للدالة المركبة (f ∘ g)(x) واحسب قيمة (f ∘ g)(3).

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ابنِ حكماً مدعوماً: حدّد الادعاء واستخدم أدلة السؤال وناقش قيداً أو بديلاً مناسباً، واجعل الخلاصة مبنية على الأدلة. قد توجد أكثر من إجابة قابلة للدفاع عنها.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض x = 3 في الدالة المركبة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على (f ∘ g)(3) = 19. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعني (f ∘ g)(x) تطبيق g أولاً ثم f — عوّض g(x) في f، وليس بالترتيب المعاكس.

   نقاط التصحيح

   • تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1.
   • تعويض x = 3 في الدالة المركبة.
   • الحصول على (f ∘ g)(3) = 19.

   ملاحظة الفاحص: تعني (f ∘ g)(x) تطبيق g أولاً ثم f — عوّض g(x) في f، وليس بالترتيب المعاكس.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لتكن f(x) = 2x + 1 وg(x) = x². أوجد تعبيراً للدالة المركبة (f ∘ g)(x) واحسب قيمة (f ∘ g)(3).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 3 في الدالة المركبة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على (f ∘ g)(3) = 19. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تعويض g(x) في f للحصول على f(g(x)) = 2x² + 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض x = 3 في الدالة المركبة.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على (f ∘ g)(3) = 19.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    حل المعادلة log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 لإيجاد x، مع توضيح سبب رفض أحد الحلول الجبرية.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)]. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع x(x − 2) = 2³ = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على حلين مرشحين x = 4 وx = −2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يشترط المجال الحقيقي x > 0 وx − 2 > 0، أي x > 2. رفض x = −2 وتحديد الحل x = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تحقق دائماً من حلول معادلات اللوغاريتمات مقابل قيود المجال الأصلية قبل تحديد الإجابة النهائية.

    نقاط التصحيح

    • استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)].
    • وضع x(x − 2) = 2³ = 8.
    • تكوين x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0.
    • الحصول على حلين مرشحين x = 4 وx = −2.
    • يشترط المجال الحقيقي x > 0 وx − 2 > 0، أي x > 2. رفض x = −2 وتحديد الحل x = 4.

    ملاحظة الفاحص: تحقق دائماً من حلول معادلات اللوغاريتمات مقابل قيود المجال الأصلية قبل تحديد الإجابة النهائية.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 لإيجاد x، مع توضيح سبب رفض أحد الحلول الجبرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)].» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)]. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع x(x − 2) = 2³ = 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تكوين x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على حلين مرشحين x = 4 وx = −2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: يشترط المجال الحقيقي x > 0 وx − 2 > 0، أي x > 2. رفض x = −2 وتحديد الحل x = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون اللوغاريتمات log₂(x) + log₂(x − 2) = log₂[x(x − 2)].
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع x(x − 2) = 2³ = 8.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكوين x² − 2x − 8 = 0 والتحليل إلى (x − 4)(x + 2) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على حلين مرشحين x = 4 وx = −2.
    • يحدد المتطلب الناقص: يشترط المجال الحقيقي x > 0 وx − 2 > 0، أي x > 2. رفض x = −2 وتحديد الحل x = 4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    تنمو مزرعة بكتيريا وفق N(t) = 500(2)^(t/3)، حيث t بالساعات. أوجد عدد البكتيريا الابتدائي واحسب المدة اللازمة ليصل العدد إلى 4000.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 500(2)^(t/3) = 4000. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى 2^(t/3) = 8 واستخدام t/3 = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على t = 9 ساعات. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: إدراك أن 8 قوة للعدد 2 يغني عن استخدام اللوغاريتمات في هذه المعادلة تحديداً.

    نقاط التصحيح

    • تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500.
    • وضع 500(2)^(t/3) = 4000.
    • التبسيط إلى 2^(t/3) = 8 واستخدام t/3 = 3.
    • الحصول على t = 9 ساعات.

    ملاحظة الفاحص: إدراك أن 8 قوة للعدد 2 يغني عن استخدام اللوغاريتمات في هذه المعادلة تحديداً.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تنمو مزرعة بكتيريا وفق N(t) = 500(2)^(t/3)، حيث t بالساعات. أوجد عدد البكتيريا الابتدائي واحسب المدة اللازمة ليصل العدد إلى 4000.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع 500(2)^(t/3) = 4000. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى 2^(t/3) = 8 واستخدام t/3 = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على t = 9 ساعات. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد العدد الابتدائي N(0) = 500.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع 500(2)^(t/3) = 4000.
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى 2^(t/3) = 8 واستخدام t/3 = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على t = 9 ساعات.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    يُحوَّل الرسم البياني للدالة y = f(x) للحصول على الرسم البياني للدالة y = f(x − 2) + 3. صِف التحويل الهندسي المطبق على رسم الدالة f بشكل كامل.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد إزاحة رأسية مقدارها 3 وحدات باتجاه y الموجب. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تُزيح f(x − a) الرسم يميناً بمقدار a؛ وتُزيح b+ خارج الدالة الرسم لأعلى بمقدار b — يسهل الخلط في الإشارتين خطأً.

    نقاط التصحيح

    • تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب.
    • تحديد إزاحة رأسية مقدارها 3 وحدات باتجاه y الموجب.

    ملاحظة الفاحص: تُزيح f(x − a) الرسم يميناً بمقدار a؛ وتُزيح b+ خارج الدالة الرسم لأعلى بمقدار b — يسهل الخلط في الإشارتين خطأً.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُحوَّل الرسم البياني للدالة y = f(x) للحصول على الرسم البياني للدالة y = f(x − 2) + 3. صِف التحويل الهندسي المطبق على رسم الدالة f بشكل كامل.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد إزاحة رأسية مقدارها 3 وحدات باتجاه y الموجب. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد إزاحة أفقية مقدارها 2 وحدة باتجاه x الموجب.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد إزاحة رأسية مقدارها 3 وحدات باتجاه y الموجب.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    حل المعادلة e^(2x) = 15، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب للحصول على التعبير الدقيق x = ln(15)/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على x ≈ 1.35. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين هو الطريقة المعتادة كلما كان المجهول في أُس العدد e.

    نقاط التصحيح

    • أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15).
    • إعادة الترتيب للحصول على التعبير الدقيق x = ln(15)/2.
    • الحصول على x ≈ 1.35.

    ملاحظة الفاحص: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين هو الطريقة المعتادة كلما كان المجهول في أُس العدد e.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة e^(2x) = 15، مع كتابة الإجابة لثلاثة أرقام معنوية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على التعبير الدقيق x = ln(15)/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ 1.35. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين: 2x = ln(15).
    • يحدد المتطلب الناقص: إعادة الترتيب للحصول على التعبير الدقيق x = ln(15)/2.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ 1.35.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    أوجد أكبر مجال ممكن للدالة f(x) = √(x − 3)، وحدد المدى المقابل له.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المجال x ≥ 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المدى f(x) ≥ 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ناتج دالة الجذر التربيعي لا يكون سالباً أبداً، ما يعطي المدى مباشرة بعد إيجاد المجال.

    نقاط التصحيح

    • اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0.
    • تحديد المجال x ≥ 3.
    • تحديد المدى f(x) ≥ 0.

    ملاحظة الفاحص: ناتج دالة الجذر التربيعي لا يكون سالباً أبداً، ما يعطي المدى مباشرة بعد إيجاد المجال.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد أكبر مجال ممكن للدالة f(x) = √(x − 3)، وحدد المدى المقابل له.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد المجال x ≥ 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد المدى f(x) ≥ 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: اشتراط أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب: x − 3 ≥ 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد المجال x ≥ 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد المدى f(x) ≥ 0.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    للمعادلة التربيعية kx² + 4x + 1 = 0 جذران حقيقيان متساويان. أوجد قيمة k.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 4² − 4(k)(1) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على k = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: المميز الصفري هو الشرط الدقيق لامتلاك معادلة تربيعية جذراً متكرراً (مزدوجاً) — يلامس القطع المكافئ محور x عند نقطة واحدة بالضبط بدلاً من قطعه.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0.
    • تعويض 4² − 4(k)(1) = 0.
    • الحل للحصول على k = 4.

    ملاحظة الفاحص: المميز الصفري هو الشرط الدقيق لامتلاك معادلة تربيعية جذراً متكرراً (مزدوجاً) — يلامس القطع المكافئ محور x عند نقطة واحدة بالضبط بدلاً من قطعه.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمعادلة التربيعية kx² + 4x + 1 = 0 جذران حقيقيان متساويان. أوجد قيمة k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض 4² − 4(k)(1) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على k = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أنه للجذرين المتساويين، المميز b² − 4ac = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض 4² − 4(k)(1) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على k = 4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    لقطع مكافئ رأس (1, −4) ويمر بالنقطة (3, 4). أوجد معادلة القطع المكافئ بالصورة y = a(x − h)² + k.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض النقطة (3, 4): 4 = a(3 − 1)² − 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط للحصول على 8 = 4a والحل لإيجاد a = 2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة المعادلة y = 2(x − 1)² − 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: صيغة الرأس y = a(x − h)² + k هي الطريق الأسرع عندما يكون الرأس معروفاً بالفعل — عوّض الرأس أولاً، ثم استخدم أي نقطة أخرى معطاة لحل المجهول الوحيد المتبقي، a.

    نقاط التصحيح

    • كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4.
    • تعويض النقطة (3, 4): 4 = a(3 − 1)² − 4.
    • التبسيط للحصول على 8 = 4a والحل لإيجاد a = 2.
    • كتابة المعادلة y = 2(x − 1)² − 4.

    ملاحظة الفاحص: صيغة الرأس y = a(x − h)² + k هي الطريق الأسرع عندما يكون الرأس معروفاً بالفعل — عوّض الرأس أولاً، ثم استخدم أي نقطة أخرى معطاة لحل المجهول الوحيد المتبقي، a.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لقطع مكافئ رأس (1, −4) ويمر بالنقطة (3, 4). أوجد معادلة القطع المكافئ بالصورة y = a(x − h)² + k.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض النقطة (3, 4): 4 = a(3 − 1)² − 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على 8 = 4a والحل لإيجاد a = 2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة المعادلة y = 2(x − 1)² − 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة صيغة الرأس باستخدام الرأس المعطى: y = a(x − 1)² − 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض النقطة (3, 4): 4 = a(3 − 1)² − 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على 8 = 4a والحل لإيجاد a = 2.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة المعادلة y = 2(x − 1)² − 4.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    تضمحل عينة مشعة وفق النموذج M(t) = 80e^(−0.05t)، حيث M الكتلة بالغرام وt الزمن بالسنوات. أوجد الكتلة الابتدائية، واحسب الزمن اللازم لاضمحلال الكتلة إلى 20 غراماً.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع 80e^(−0.05t) = 20. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط للحصول على e^(−0.05t) = 0.25 وأخذ اللوغاريتم الطبيعي: −0.05t = ln(0.25). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على t ≈ 27.7 سنة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يشير الأس السالب (أو ثابت المعدل السالب) دائماً إلى الاضمحلال وليس النمو — لا يزال النموذج يستخدم تقنية اللوغاريتم نفسها تماماً للحل عن الزمن.

    نقاط التصحيح

    • تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g.
    • وضع 80e^(−0.05t) = 20.
    • التبسيط للحصول على e^(−0.05t) = 0.25 وأخذ اللوغاريتم الطبيعي: −0.05t = ln(0.25).
    • الحل للحصول على t ≈ 27.7 سنة.

    ملاحظة الفاحص: يشير الأس السالب (أو ثابت المعدل السالب) دائماً إلى الاضمحلال وليس النمو — لا يزال النموذج يستخدم تقنية اللوغاريتم نفسها تماماً للحل عن الزمن.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تضمحل عينة مشعة وفق النموذج M(t) = 80e^(−0.05t)، حيث M الكتلة بالغرام وt الزمن بالسنوات. أوجد الكتلة الابتدائية، واحسب الزمن اللازم لاضمحلال الكتلة إلى 20 غراماً.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: وضع 80e^(−0.05t) = 20. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على e^(−0.05t) = 0.25 وأخذ اللوغاريتم الطبيعي: −0.05t = ln(0.25). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على t ≈ 27.7 سنة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد الكتلة الابتدائية M(0) = 80 g.
    • يحدد المتطلب الناقص: وضع 80e^(−0.05t) = 20.
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على e^(−0.05t) = 0.25 وأخذ اللوغاريتم الطبيعي: −0.05t = ln(0.25).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على t ≈ 27.7 سنة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    حل المعادلة 2ln(x) − ln(x − 1) = ln(4) لإيجاد x، علماً أن x > 1.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع الطرف الأيسر باستخدام قانون القسمة: ln(x²/(x − 1)) = ln(4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة المقادير (لأن ln دالة متباينة): x²/(x − 1) = 4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تكوين وتحليل x² − 4x + 4 = 0 إلى (x − 2)² = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على x = 2، والتحقق من تحقيقها شرط المجال x > 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اجمع كل حدود اللوغاريتم في لوغاريتم واحد أولاً باستخدام قوانين اللوغاريتمات، ثم ساوِ المقادير مباشرة — هذا أكثر موثوقية بكثير من محاولة عزل x بينما تبقى اللوغاريتمات منفصلة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²).
    • جمع الطرف الأيسر باستخدام قانون القسمة: ln(x²/(x − 1)) = ln(4).
    • مساواة المقادير (لأن ln دالة متباينة): x²/(x − 1) = 4.
    • تكوين وتحليل x² − 4x + 4 = 0 إلى (x − 2)² = 0.
    • الحصول على x = 2، والتحقق من تحقيقها شرط المجال x > 1.

    ملاحظة الفاحص: اجمع كل حدود اللوغاريتم في لوغاريتم واحد أولاً باستخدام قوانين اللوغاريتمات، ثم ساوِ المقادير مباشرة — هذا أكثر موثوقية بكثير من محاولة عزل x بينما تبقى اللوغاريتمات منفصلة.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 2ln(x) − ln(x − 1) = ln(4) لإيجاد x، علماً أن x > 1.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: جمع الطرف الأيسر باستخدام قانون القسمة: ln(x²/(x − 1)) = ln(4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: مساواة المقادير (لأن ln دالة متباينة): x²/(x − 1) = 4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تكوين وتحليل x² − 4x + 4 = 0 إلى (x − 2)² = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x = 2، والتحقق من تحقيقها شرط المجال x > 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون القوة لإعادة كتابة 2ln(x) بصورة ln(x²).
    • يحدد المتطلب الناقص: جمع الطرف الأيسر باستخدام قانون القسمة: ln(x²/(x − 1)) = ln(4).
    • يحدد المتطلب الناقص: مساواة المقادير (لأن ln دالة متباينة): x²/(x − 1) = 4.
    • يحدد المتطلب الناقص: تكوين وتحليل x² − 4x + 4 = 0 إلى (x − 2)² = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x = 2، والتحقق من تحقيقها شرط المجال x > 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    حدد مجال الدالة f(x) = 1/(x − 3)، واكتب معادلتي خطيها المقاربين الرأسي والأفقي.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الخط المقارب الرأسي x = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 0، لأن f(x) تقترب من الصفر عندما x → ±∞. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لدالة كسرية بسيطة، يحدث الخط المقارب الرأسي دائماً بالضبط حيث يساوي المقام صفراً، وتكون قيمة المجال المستبعدة دائماً هي إحداثي x نفسه للخط المقارب الرأسي.

    نقاط التصحيح

    • تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.
    • كتابة الخط المقارب الرأسي x = 3.
    • كتابة الخط المقارب الأفقي y = 0، لأن f(x) تقترب من الصفر عندما x → ±∞.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لدالة كسرية بسيطة، يحدث الخط المقارب الرأسي دائماً بالضبط حيث يساوي المقام صفراً، وتكون قيمة المجال المستبعدة دائماً هي إحداثي x نفسه للخط المقارب الرأسي.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حدد مجال الدالة f(x) = 1/(x − 3)، واكتب معادلتي خطيها المقاربين الرأسي والأفقي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الرأسي x = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 0، لأن f(x) تقترب من الصفر عندما x → ±∞. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المجال بأنه جميع قيم x الحقيقية ما عدا x = 3 (x ≠ 3)، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الرأسي x = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة الخط المقارب الأفقي y = 0، لأن f(x) تقترب من الصفر عندما x → ±∞.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    f(x) = 3x - 5 عندما x >= 2. أوجد الدالة العكسية وحدّد مجالها.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. الدالة متزايدة لذا يقابل أصغر مدخل مسموح أصغر مخرج وهو f(2) = 1.
    2. حل لإيجاد المدخل ثم بدّل أسماء المتغيرات. تقبل العكسية بالضبط المخرجات التي تنتجها الأصلية.

    نقاط التصحيح

    • مدى f هو y >= 1.
    • بإعادة ترتيب y = 3x - 5 نحصل على x = (y + 5)/3.
    • f^-1(x) = (x + 5)/3 ومجالها x >= 1.

    ملاحظة الفاحص: مجال العكسية مأخوذ من مدى الأصلية وليس من مجالها.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «f(x) = 3x - 5 عندما x >= 2. أوجد الدالة العكسية وحدّد مجالها.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مدى f هو y >= 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مدى f هو y >= 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: بإعادة ترتيب y = 3x - 5 نحصل على x = (y + 5)/3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: f^-1(x) = (x + 5)/3 ومجالها x >= 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مدى f هو y >= 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: بإعادة ترتيب y = 3x - 5 نحصل على x = (y + 5)/3.
    • يحدد المتطلب الناقص: f^-1(x) = (x + 5)/3 ومجالها x >= 1.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.