الرياضيات AA: المستوى العادي
الهندسة وحساب المثلثات — الموضوع 3
- 1.
حوّل 150° إلى الراديان، مع كتابة الإجابة كمضاعف لـ π.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حوّل 150° إلى الراديان، مع كتابة الإجابة كمضاعف لـ π.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التحويل 180° = π راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[2 درجة] · بدون آلة حاسبة - 3.
استخدم القيم الدقيقة لحساب sin(π/3) + cos(π/6)، مع كتابة الإجابة بأبسط صورة جذرية.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم القيم الدقيقة لحساب sin(π/3) + cos(π/6)، مع كتابة الإجابة بأبسط صورة جذرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد sin(π/3) = √3/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 5.
بالنظر إلى أن sin θ = 3/5 وθ زاوية منفرجة، أوجد القيمة الدقيقة لـ cos θ.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى أن sin θ = 3/5 وθ زاوية منفرجة، أوجد القيمة الدقيقة لـ cos θ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 7.
حل المعادلة 2 sin x − 1 = 0 لـ 0 ≤ x ≤ 2π، مع كتابة جميع الحلول بدقة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 2 sin x − 1 = 0 لـ 0 ≤ x ≤ 2π، مع كتابة جميع الحلول بدقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 9.
في المثلث ABC، الزاوية A = 40° والضلع a = 12 سم والضلع b = 15 سم. أوجد الزاوية B، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، الزاوية A = 40° والضلع a = 12 سم والضلع b = 15 سم. أوجد الزاوية B، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
في المثلث PQR، PQ = 7 سم وQR = 9 سم والزاوية PQR = 65°. أوجد طول PR.
[4 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث PQR، PQ = 7 سم وQR = 9 سم والزاوية PQR = 65°. أوجد طول PR.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 13.
للمثلث XYZ، XY = 8 سم وXZ = 10 سم والزاوية YXZ = 55°. أوجد مساحة المثلث.
[3 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث XYZ، XY = 8 سم وXZ = 10 سم والزاوية YXZ = 55°. أوجد مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 15.
تُمثِّل الدالة f(x) = 3 sin(2x) + 1 كمية دورية. حدد سعة الدالة f ودورها وإزاحتها الرأسية.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُمثِّل الدالة f(x) = 3 sin(2x) + 1 كمية دورية. حدد سعة الدالة f ودورها وإزاحتها الرأسية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد السعة 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 17.
أثبت المتطابقة (1 − cos²x)/sin x = sin x عندما sin x ≠ 0.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت المتطابقة (1 − cos²x)/sin x = sin x عندما sin x ≠ 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 19.
تُرصد جرف عمودي من نقطتين A وB على أرض مستوية، حيث B أبعد عن الجرف من A. AB = 50 m، وزاوية الارتفاع لقمة الجرف من A تساوي 42° ومن B تساوي 27°. أوجد ارتفاع الجرف.
[6 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُرصد جرف عمودي من نقطتين A وB على أرض مستوية، حيث B أبعد عن الجرف من A. AB = 50 m، وزاوية الارتفاع لقمة الجرف من A تساوي 42° ومن B تساوي 27°. أوجد ارتفاع الجرف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 21.
النقطتان A(1, 2, 0) وB(4, −2, 3) معطاتان. أوجد المتجه AB ثم أوجد المسافة |AB|.
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «النقطتان A(1, 2, 0) وB(4, −2, 3) معطاتان. أوجد المتجه AB ثم أوجد المسافة |AB|.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام AB = OB − OA.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
المتجهان a = 2i − j + 2k وb = i + 2j − 2k معطيان. احسب a · b ثم أوجد الزاوية بين a وb.
[6 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «المتجهان a = 2i − j + 2k وb = i + 2j − 2k معطيان. احسب a · b ثم أوجد الزاوية بين a وb.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 25.
يمر خط بالنقطة (1, 0, −2) ويوازي المتجه (2, 1, 3). اكتب معادلة متجهة للخط وحدد إحداثيات النقطة على الخط عندما تساوي البارامتر 2.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر خط بالنقطة (1, 0, −2) ويوازي المتجه (2, 1, 3). اكتب معادلة متجهة للخط وحدد إحداثيات النقطة على الخط عندما تساوي البارامتر 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 27.
أوجد متجه وحدة باتجاه المتجه v = (3, −4, 12) نفسه.
[3 درجة] - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد متجه وحدة باتجاه المتجه v = (3, −4, 12) نفسه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 29.
تُشكّل النقاط A(2, 1, −1) وB(4, 0, 2) وC(3, 3, 0) مثلثاً. أوجد المتجهين AB وAC، ثم احسب مساحة المثلث ABC باستخدام الجداء الاتجاهي.
[6 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُشكّل النقاط A(2, 1, −1) وB(4, 0, 2) وC(3, 3, 0) مثلثاً. أوجد المتجهين AB وAC، ثم احسب مساحة المثلث ABC باستخدام الجداء الاتجاهي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الحصول على AB = (2, −1, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 31.
لخطين معادلتان r = (1, 2, 0) + s(1, −1, 2) وr = (3, 0, 4) + t(2, 1, −1). بيّن أن الخطين يتقاطعان وأوجد نقطة التقاطع.
[6 درجة] - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخطين معادلتان r = (1, 2, 0) + s(1, −1, 2) وr = (3, 0, 4) + t(2, 1, −1). بيّن أن الخطين يتقاطعان وأوجد نقطة التقاطع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[6 درجة] - 33.
أوجد الزاوية التي يصنعها المتجه d = (1, 1, 0) مع المحور x الموجب.
[4 درجة] - 34.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية التي يصنعها المتجه d = (1, 1, 0) مع المحور x الموجب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 35.
معادلة خط متجهة هي r = (2, −1, 3) + t(1, 2, −2). حدد ما إذا كانت النقطة (5, 5, −3) تقع على هذا الخط.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 36.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «معادلة خط متجهة هي r = (2, −1, 3) + t(1, 2, −2). حدد ما إذا كانت النقطة (5, 5, −3) تقع على هذا الخط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] · بدون آلة حاسبة - 37.
متجهان p وq بحيث |p| = 5 و|q| = 3 والزاوية بينهما 60°. احسب |p + q|.
[5 درجة] - 38.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متجهان p وq بحيث |p| = 5 و|q| = 3 والزاوية بينهما 60°. احسب |p + q|.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 39.
يحتوي مستوٍ على النقطة (1, 0, 2) وله متجه عمودي n = (2, −1, 3). اكتب المعادلة الديكارتية للمستوي.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 40.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي مستوٍ على النقطة (1, 0, 2) وله متجه عمودي n = (2, −1, 3). اكتب المعادلة الديكارتية للمستوي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة