الرياضيات AA: المستوى العادي

1. 1.

   حوّل 150° إلى الراديان، مع كتابة الإجابة كمضاعف لـ π.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام التحويل 180° = π راديان. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على 150° = 5π/6 راديان. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اضرب قياس الدرجة في π/180 وبسّط الكسر الناتج بالكامل.

   نقاط التصحيح

   • استخدام التحويل 180° = π راديان.
   • الحصول على 150° = 5π/6 راديان.

   ملاحظة الفاحص: اضرب قياس الدرجة في π/180 وبسّط الكسر الناتج بالكامل.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حوّل 150° إلى الراديان، مع كتابة الإجابة كمضاعف لـ π.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام التحويل 180° = π راديان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 2 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [2 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام التحويل 180° = π راديان. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 150° = 5π/6 راديان. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام التحويل 180° = π راديان.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على 150° = 5π/6 راديان.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   استخدم القيم الدقيقة لحساب sin(π/3) + cos(π/6)، مع كتابة الإجابة بأبسط صورة جذرية.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. ابنِ حكماً مدعوماً: حدّد الادعاء واستخدم أدلة السؤال وناقش قيداً أو بديلاً مناسباً، واجعل الخلاصة مبنية على الأدلة. قد توجد أكثر من إجابة قابلة للدفاع عنها.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد sin(π/3) = √3/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد cos(π/6) = √3/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع القيمتين للحصول على √3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب حفظ القيم الدقيقة لـ π/6 وπ/4 وπ/3، لأن استخدام الآلة الحاسبة غير مسموح في هذه الأسئلة.

   نقاط التصحيح

   • تحديد sin(π/3) = √3/2.
   • تحديد cos(π/6) = √3/2.
   • جمع القيمتين للحصول على √3.

   ملاحظة الفاحص: يجب حفظ القيم الدقيقة لـ π/6 وπ/4 وπ/3، لأن استخدام الآلة الحاسبة غير مسموح في هذه الأسئلة.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «استخدم القيم الدقيقة لحساب sin(π/3) + cos(π/6)، مع كتابة الإجابة بأبسط صورة جذرية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد sin(π/3) = √3/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد sin(π/3) = √3/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد cos(π/6) = √3/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: جمع القيمتين للحصول على √3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد sin(π/3) = √3/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد cos(π/6) = √3/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: جمع القيمتين للحصول على √3.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   بالنظر إلى أن sin θ = 3/5 وθ زاوية منفرجة، أوجد القيمة الدقيقة لـ cos θ.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: أخذ الجذر التربيعي للحصول على cos θ = ±4/5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: اختيار القيمة السالبة cos θ = −4/5 لأن θ زاوية منفرجة (الربع الثاني). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يحدد الربع المعطى في وصف الزاوية (منفرجة، حادة، منعكسة) الإشارة؛ تحقق من ذلك دائماً قبل تحديد الجذر التربيعي.

   نقاط التصحيح

   • استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1.
   • التعويض للحصول على cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25.
   • أخذ الجذر التربيعي للحصول على cos θ = ±4/5.
   • اختيار القيمة السالبة cos θ = −4/5 لأن θ زاوية منفرجة (الربع الثاني).

   ملاحظة الفاحص: يحدد الربع المعطى في وصف الزاوية (منفرجة، حادة، منعكسة) الإشارة؛ تحقق من ذلك دائماً قبل تحديد الجذر التربيعي.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «بالنظر إلى أن sin θ = 3/5 وθ زاوية منفرجة، أوجد القيمة الدقيقة لـ cos θ.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: أخذ الجذر التربيعي للحصول على cos θ = ±4/5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: اختيار القيمة السالبة cos θ = −4/5 لأن θ زاوية منفرجة (الربع الثاني). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25.
   • يحدد المتطلب الناقص: أخذ الجذر التربيعي للحصول على cos θ = ±4/5.
   • يحدد المتطلب الناقص: اختيار القيمة السالبة cos θ = −4/5 لأن θ زاوية منفرجة (الربع الثاني).

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   حل المعادلة 2 sin x − 1 = 0 لـ 0 ≤ x ≤ 2π، مع كتابة جميع الحلول بدقة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الزاوية المرجعية π/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن الجيب موجب في الربعين الأول والثاني. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة كلا الحلين x = π/6 وx = 5π/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اعتبر دائماً جميع الأرباع المتوافقة مع إشارة النسبة المثلثية ضمن المجال المعطى، وليس الزاوية المرجعية فقط.

   نقاط التصحيح

   • إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2.
   • تحديد الزاوية المرجعية π/6.
   • تحديد أن الجيب موجب في الربعين الأول والثاني.
   • كتابة كلا الحلين x = π/6 وx = 5π/6.

   ملاحظة الفاحص: اعتبر دائماً جميع الأرباع المتوافقة مع إشارة النسبة المثلثية ضمن المجال المعطى، وليس الزاوية المرجعية فقط.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «حل المعادلة 2 sin x − 1 = 0 لـ 0 ≤ x ≤ 2π، مع كتابة جميع الحلول بدقة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الزاوية المرجعية π/6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن الجيب موجب في الربعين الأول والثاني. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: كتابة كلا الحلين x = π/6 وx = 5π/6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إعادة الترتيب إلى sin x = 1/2.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الزاوية المرجعية π/6.
   • يحدد المتطلب الناقص: تحديد أن الجيب موجب في الربعين الأول والثاني.
   • يحدد المتطلب الناقص: كتابة كلا الحلين x = π/6 وx = 5π/6.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   في المثلث ABC، الزاوية A = 40° والضلع a = 12 سم والضلع b = 15 سم. أوجد الزاوية B، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على sin B = 15 sin(40°)/12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب sin B ≈ 0.8035. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على B ≈ 53.4°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: عند استخدام قانون الجيب لإيجاد زاوية، تحقق مما إذا كان البديل المنفرج (180° ناقص الزاوية المحسوبة) صحيحاً هندسياً أيضاً.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b.
   • التعويض للحصول على sin B = 15 sin(40°)/12.
   • حساب sin B ≈ 0.8035.
   • الحصول على B ≈ 53.4°.

   ملاحظة الفاحص: عند استخدام قانون الجيب لإيجاد زاوية، تحقق مما إذا كان البديل المنفرج (180° ناقص الزاوية المحسوبة) صحيحاً هندسياً أيضاً.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث ABC، الزاوية A = 40° والضلع a = 12 سم والضلع b = 15 سم. أوجد الزاوية B، مع كتابة الإجابة لمنزلة عشرية واحدة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على sin B = 15 sin(40°)/12. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب sin B ≈ 0.8035. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على B ≈ 53.4°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون الجيب sin A/a = sin B/b.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على sin B = 15 sin(40°)/12.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب sin B ≈ 0.8035.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على B ≈ 53.4°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    في المثلث PQR، PQ = 7 سم وQR = 9 سم والزاوية PQR = 65°. أوجد طول PR.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على PR² = 49 + 81 − 2(7)(9)cos(65°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب PR² ≈ 76.7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على PR ≈ 8.76 سم. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يُستخدم قانون جيب التمام عند معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، وهذه بالضبط حالة السؤال (PQ وQR والزاوية بينهما).

    نقاط التصحيح

    • استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR).
    • التعويض للحصول على PR² = 49 + 81 − 2(7)(9)cos(65°).
    • حساب PR² ≈ 76.7.
    • الحصول على PR ≈ 8.76 سم.

    ملاحظة الفاحص: يُستخدم قانون جيب التمام عند معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، وهذه بالضبط حالة السؤال (PQ وQR والزاوية بينهما).

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «في المثلث PQR، PQ = 7 سم وQR = 9 سم والزاوية PQR = 65°. أوجد طول PR.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على PR² = 49 + 81 − 2(7)(9)cos(65°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب PR² ≈ 76.7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على PR ≈ 8.76 سم. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قانون جيب التمام PR² = PQ² + QR² − 2(PQ)(QR)cos(PQR).
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على PR² = 49 + 81 − 2(7)(9)cos(65°).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب PR² ≈ 76.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على PR ≈ 8.76 سم.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    للمثلث XYZ، XY = 8 سم وXZ = 10 سم والزاوية YXZ = 55°. أوجد مساحة المثلث.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض ½(8)(10)sin(55°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على مساحة تقارب 32.8 سم². اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب أن تكون الزاوية المستخدمة في صيغة المساحة هي الزاوية المحصورة بين الضلعين المعطيين.

    نقاط التصحيح

    • استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة.
    • التعويض ½(8)(10)sin(55°).
    • الحصول على مساحة تقارب 32.8 سم².

    ملاحظة الفاحص: يجب أن تكون الزاوية المستخدمة في صيغة المساحة هي الزاوية المحصورة بين الضلعين المعطيين.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «للمثلث XYZ، XY = 8 سم وXZ = 10 سم والزاوية YXZ = 55°. أوجد مساحة المثلث.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض ½(8)(10)sin(55°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة تقارب 32.8 سم². قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام صيغة المساحة Area = ½ab sin C مع الضلعين المعطيين والزاوية المحصورة.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض ½(8)(10)sin(55°).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على مساحة تقارب 32.8 سم².

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    تُمثِّل الدالة f(x) = 3 sin(2x) + 1 كمية دورية. حدد سعة الدالة f ودورها وإزاحتها الرأسية.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد السعة 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الدور 2π/2 = π. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الإزاحة الرأسية وحدة واحدة للأعلى. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لـ y = a sin(bx) + d، الدور هو 2π/b وليس b نفسها؛ هذا خطأ شائع.

    نقاط التصحيح

    • تحديد السعة 3.
    • تحديد الدور 2π/2 = π.
    • تحديد الإزاحة الرأسية وحدة واحدة للأعلى.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لـ y = a sin(bx) + d، الدور هو 2π/b وليس b نفسها؛ هذا خطأ شائع.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُمثِّل الدالة f(x) = 3 sin(2x) + 1 كمية دورية. حدد سعة الدالة f ودورها وإزاحتها الرأسية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد السعة 3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد السعة 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الدور 2π/2 = π. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الإزاحة الرأسية وحدة واحدة للأعلى. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد السعة 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الدور 2π/2 = π.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الإزاحة الرأسية وحدة واحدة للأعلى.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    أثبت المتطابقة (1 − cos²x)/sin x = sin x عندما sin x ≠ 0.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على sin²x/sin x. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط إلى sin x، مطابقاً الطرف الأيمن. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اعمل من الطرف الأكثر تعقيداً في المتطابقة نحو الطرف الأبسط، خطوة جبرية واحدة في كل مرة.

    نقاط التصحيح

    • استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x.
    • التعويض للحصول على sin²x/sin x.
    • التبسيط إلى sin x، مطابقاً الطرف الأيمن.

    ملاحظة الفاحص: اعمل من الطرف الأكثر تعقيداً في المتطابقة نحو الطرف الأبسط، خطوة جبرية واحدة في كل مرة.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أثبت المتطابقة (1 − cos²x)/sin x = sin x عندما sin x ≠ 0.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على sin²x/sin x. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى sin x، مطابقاً الطرف الأيمن. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة البسط: 1 − cos²x = sin²x.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على sin²x/sin x.
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط إلى sin x، مطابقاً الطرف الأيمن.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    تُرصد جرف عمودي من نقطتين A وB على أرض مستوية، حيث B أبعد عن الجرف من A. AB = 50 m، وزاوية الارتفاع لقمة الجرف من A تساوي 42° ومن B تساوي 27°. أوجد ارتفاع الجرف.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: إيجاد الزاوية عند قمة الجرف 42° − 27° = 15° (نتيجة الزاوية الخارجية). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قانون الجيب في المثلث (القمة، A، B) لإيجاد المسافة من A إلى قمة الجرف: المسافة/sin(27°) = 50/sin(15°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب هذه المسافة ≈ 87.7 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام حساب المثلثات القائمة في المثلث الرأسي: الارتفاع = المسافة × sin(42°). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على ارتفاع جرف يقارب 58.7 m. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب هذه المسألة ذات المثلثين استخدام قانون الجيب أولاً لإيجاد مسافة مائلة، ثم حساب مثلثات قائمة بسيط لاستخراج الارتفاع الرأسي.

    نقاط التصحيح

    • إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا.
    • إيجاد الزاوية عند قمة الجرف 42° − 27° = 15° (نتيجة الزاوية الخارجية).
    • استخدام قانون الجيب في المثلث (القمة، A، B) لإيجاد المسافة من A إلى قمة الجرف: المسافة/sin(27°) = 50/sin(15°).
    • حساب هذه المسافة ≈ 87.7 m.
    • استخدام حساب المثلثات القائمة في المثلث الرأسي: الارتفاع = المسافة × sin(42°).
    • الحصول على ارتفاع جرف يقارب 58.7 m.

    ملاحظة الفاحص: تتطلب هذه المسألة ذات المثلثين استخدام قانون الجيب أولاً لإيجاد مسافة مائلة، ثم حساب مثلثات قائمة بسيط لاستخراج الارتفاع الرأسي.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُرصد جرف عمودي من نقطتين A وB على أرض مستوية، حيث B أبعد عن الجرف من A. AB = 50 m، وزاوية الارتفاع لقمة الجرف من A تساوي 42° ومن B تساوي 27°. أوجد ارتفاع الجرف.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الزاوية عند قمة الجرف 42° − 27° = 15° (نتيجة الزاوية الخارجية). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الجيب في المثلث (القمة، A، B) لإيجاد المسافة من A إلى قمة الجرف: المسافة/sin(27°) = 50/sin(15°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب هذه المسافة ≈ 87.7 m. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: استخدام حساب المثلثات القائمة في المثلث الرأسي: الارتفاع = المسافة × sin(42°). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على ارتفاع جرف يقارب 58.7 m. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: إنشاء مثلث بقمة الجرف وA وB، وتحديد الزاوية عند قمة الجرف باستخدام خصائص الزوايا.
    • يحدد المتطلب الناقص: إيجاد الزاوية عند قمة الجرف 42° − 27° = 15° (نتيجة الزاوية الخارجية).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام قانون الجيب في المثلث (القمة، A، B) لإيجاد المسافة من A إلى قمة الجرف: المسافة/sin(27°) = 50/sin(15°).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب هذه المسافة ≈ 87.7 m.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام حساب المثلثات القائمة في المثلث الرأسي: الارتفاع = المسافة × sin(42°).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على ارتفاع جرف يقارب 58.7 m.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    النقطتان A(1, 2, 0) وB(4, −2, 3) معطاتان. أوجد المتجه AB ثم أوجد المسافة |AB|.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام AB = OB − OA. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على AB = (3, −4, 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام |AB| = √(3² + (−4)² + 3²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على |AB| = √34 ≈ 5.83. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: اطرح النقطة الابتدائية من النهائية عنصراً بعنصر؛ يهم الترتيب للاتجاه لا للطول.

    نقاط التصحيح

    • استخدام AB = OB − OA.
    • الحصول على AB = (3, −4, 3).
    • استخدام |AB| = √(3² + (−4)² + 3²).
    • الحصول على |AB| = √34 ≈ 5.83.

    ملاحظة الفاحص: اطرح النقطة الابتدائية من النهائية عنصراً بعنصر؛ يهم الترتيب للاتجاه لا للطول.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «النقطتان A(1, 2, 0) وB(4, −2, 3) معطاتان. أوجد المتجه AB ثم أوجد المسافة |AB|.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام AB = OB − OA.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام AB = OB − OA. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AB = (3, −4, 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام |AB| = √(3² + (−4)² + 3²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |AB| = √34 ≈ 5.83. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام AB = OB − OA.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AB = (3, −4, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام |AB| = √(3² + (−4)² + 3²).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |AB| = √34 ≈ 5.83.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    المتجهان a = 2i − j + 2k وb = i + 2j − 2k معطيان. احسب a · b ثم أوجد الزاوية بين a وb.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على a · b = −4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |a| = 3 و|b| = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على cos θ = −4/9. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على θ ≈ 116°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: الجداء القياسي السالب يعني أن الزاوية بين المتجهين منفرجة؛ تحقق من توافق ذلك مع الزاوية النهائية.

    نقاط التصحيح

    • استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2).
    • الحصول على a · b = −4.
    • حساب |a| = 3 و|b| = 3.
    • استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|).
    • الحصول على cos θ = −4/9.
    • الحصول على θ ≈ 116°.

    ملاحظة الفاحص: الجداء القياسي السالب يعني أن الزاوية بين المتجهين منفرجة؛ تحقق من توافق ذلك مع الزاوية النهائية.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «المتجهان a = 2i − j + 2k وb = i + 2j − 2k معطيان. احسب a · b ثم أوجد الزاوية بين a وb.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a · b = −4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب |a| = 3 و|b| = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على cos θ = −4/9. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 116°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام a · b = (2)(1) + (−1)(2) + (2)(−2).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على a · b = −4.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب |a| = 3 و|b| = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (a · b)/(|a||b|).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على cos θ = −4/9.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ ≈ 116°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    يمر خط بالنقطة (1, 0, −2) ويوازي المتجه (2, 1, 3). اكتب معادلة متجهة للخط وحدد إحداثيات النقطة على الخط عندما تساوي البارامتر 2.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض t = 2 في كل عنصر. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد النقطة (5, 2, 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تتطلب المعادلة المتجهة نقطة على الخط ومتجه اتجاه معاً؛ لا يكفي أحدهما.

    نقاط التصحيح

    • كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3).
    • تعويض t = 2 في كل عنصر.
    • تحديد النقطة (5, 2, 4).

    ملاحظة الفاحص: تتطلب المعادلة المتجهة نقطة على الخط ومتجه اتجاه معاً؛ لا يكفي أحدهما.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمر خط بالنقطة (1, 0, −2) ويوازي المتجه (2, 1, 3). اكتب معادلة متجهة للخط وحدد إحداثيات النقطة على الخط عندما تساوي البارامتر 2.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 في كل عنصر. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: تحديد النقطة (5, 2, 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض t = 2 في كل عنصر.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد النقطة (5, 2, 4).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    أوجد متجه وحدة باتجاه المتجه v = (3, −4, 12) نفسه.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على |v| = 13. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: متجه الوحدة هو المتجه الأصلي مقسوماً على مقداره، مع الحفاظ على الاتجاه نفسه.

    نقاط التصحيح

    • حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²).
    • الحصول على |v| = 13.
    • كتابة متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13).

    ملاحظة الفاحص: متجه الوحدة هو المتجه الأصلي مقسوماً على مقداره، مع الحفاظ على الاتجاه نفسه.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد متجه وحدة باتجاه المتجه v = (3, −4, 12) نفسه.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |v| = 13. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب |v| = √(3² + (−4)² + 12²).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |v| = 13.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة متجه الوحدة (3/13, −4/13, 12/13).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    تُشكّل النقاط A(2, 1, −1) وB(4, 0, 2) وC(3, 3, 0) مثلثاً. أوجد المتجهين AB وAC، ثم احسب مساحة المثلث ABC باستخدام الجداء الاتجاهي.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على AB = (2, −1, 3). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على AC = (1, 2, 1). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب الجداء الاتجاهي AB × AC عنصراً بعنصر. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على AB × AC = (−7, 1, 5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب |AB × AC| = √(49 + 1 + 25) = √75. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المساحة ½√75 ≈ 4.33 وحدة مربعة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: مساحة مثلث مكوّن من متجهين ينطلقان من رأس مشترك تساوي بالضبط نصف مقدار جدائهما الاتجاهي.

    نقاط التصحيح

    • الحصول على AB = (2, −1, 3).
    • الحصول على AC = (1, 2, 1).
    • حساب الجداء الاتجاهي AB × AC عنصراً بعنصر.
    • الحصول على AB × AC = (−7, 1, 5).
    • حساب |AB × AC| = √(49 + 1 + 25) = √75.
    • تحديد المساحة ½√75 ≈ 4.33 وحدة مربعة.

    ملاحظة الفاحص: مساحة مثلث مكوّن من متجهين ينطلقان من رأس مشترك تساوي بالضبط نصف مقدار جدائهما الاتجاهي.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُشكّل النقاط A(2, 1, −1) وB(4, 0, 2) وC(3, 3, 0) مثلثاً. أوجد المتجهين AB وAC، ثم احسب مساحة المثلث ABC باستخدام الجداء الاتجاهي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الحصول على AB = (2, −1, 3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الحصول على AB = (2, −1, 3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AC = (1, 2, 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي AB × AC عنصراً بعنصر. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AB × AC = (−7, 1, 5). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: حساب |AB × AC| = √(49 + 1 + 25) = √75. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: تحديد المساحة ½√75 ≈ 4.33 وحدة مربعة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الحصول على AB = (2, −1, 3).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AC = (1, 2, 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب الجداء الاتجاهي AB × AC عنصراً بعنصر.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على AB × AC = (−7, 1, 5).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب |AB × AC| = √(49 + 1 + 25) = √75.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد المساحة ½√75 ≈ 4.33 وحدة مربعة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    لخطين معادلتان r = (1, 2, 0) + s(1, −1, 2) وr = (3, 0, 4) + t(2, 1, −1). بيّن أن الخطين يتقاطعان وأوجد نقطة التقاطع.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل المعادلتين الأوليين معاً، مثل تعويض t = 2 − s في المعادلة الأولى: 1 + s = 3 + 2(2 − s). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على s = 2 وt = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من أن هذه القيم تحقق المعادلة الثالثة: 2(2) = 4 − 0، وهذا صحيح، ما يؤكد تقاطع الخطين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض s = 2 في معادلة الخط الأول. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد نقطة التقاطع (3, 0, 4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا يتقاطع خطان عموماً في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ يجب التحقق من المعادلة الثالثة كاختبار توافق، لا افتراضه.

    نقاط التصحيح

    • مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t.
    • حل المعادلتين الأوليين معاً، مثل تعويض t = 2 − s في المعادلة الأولى: 1 + s = 3 + 2(2 − s).
    • الحصول على s = 2 وt = 0.
    • التحقق من أن هذه القيم تحقق المعادلة الثالثة: 2(2) = 4 − 0، وهذا صحيح، ما يؤكد تقاطع الخطين.
    • تعويض s = 2 في معادلة الخط الأول.
    • تحديد نقطة التقاطع (3, 0, 4).

    ملاحظة الفاحص: لا يتقاطع خطان عموماً في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ يجب التحقق من المعادلة الثالثة كاختبار توافق، لا افتراضه.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لخطين معادلتان r = (1, 2, 0) + s(1, −1, 2) وr = (3, 0, 4) + t(2, 1, −1). بيّن أن الخطين يتقاطعان وأوجد نقطة التقاطع.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 6 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [6 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلتين الأوليين معاً، مثل تعويض t = 2 − s في المعادلة الأولى: 1 + s = 3 + 2(2 − s). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على s = 2 وt = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التحقق من أن هذه القيم تحقق المعادلة الثالثة: 2(2) = 4 − 0، وهذا صحيح، ما يؤكد تقاطع الخطين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تعويض s = 2 في معادلة الخط الأول. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. المطلب 6: يحدد المتطلب الناقص: تحديد نقطة التقاطع (3, 0, 4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    8. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: مساواة العناصر المتناظرة: 1 + s = 3 + 2t، و2 − s = t، و2s = 4 − t.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلتين الأوليين معاً، مثل تعويض t = 2 − s في المعادلة الأولى: 1 + s = 3 + 2(2 − s).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على s = 2 وt = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق من أن هذه القيم تحقق المعادلة الثالثة: 2(2) = 4 − 0، وهذا صحيح، ما يؤكد تقاطع الخطين.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض s = 2 في معادلة الخط الأول.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد نقطة التقاطع (3, 0, 4).

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

33. 33.

    أوجد الزاوية التي يصنعها المتجه d = (1, 1, 0) مع المحور x الموجب.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام cos θ = (d · i)/(|d||i|). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب d · i = 1، و|d| = √2، و|i| = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على θ = 45°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: توجد الزاوية بين متجه ومحور باستخدام الجداء القياسي مع متجه وحدة ذلك المحور.

    نقاط التصحيح

    • تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0).
    • استخدام cos θ = (d · i)/(|d||i|).
    • حساب d · i = 1، و|d| = √2، و|i| = 1.
    • الحصول على θ = 45°.

    ملاحظة الفاحص: توجد الزاوية بين متجه ومحور باستخدام الجداء القياسي مع متجه وحدة ذلك المحور.

34. 34.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أوجد الزاوية التي يصنعها المتجه d = (1, 1, 0) مع المحور x الموجب.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (d · i)/(|d||i|). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب d · i = 1، و|d| = √2، و|i| = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ = 45°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد متجه اتجاه المحور x بأنه i = (1, 0, 0).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام cos θ = (d · i)/(|d||i|).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب d · i = 1، و|d| = √2، و|i| = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على θ = 45°.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

35. 35.

    معادلة خط متجهة هي r = (2, −1, 3) + t(1, 2, −2). حدد ما إذا كانت النقطة (5, 5, −3) تقع على هذا الخط.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من t = 3 في المعادلة الثانية: −1 + 6 = 5، وهي صحيحة. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التحقق من t = 3 في المعادلة الثالثة: 3 − 6 = −3، وهي صحيحة أيضاً، لذا تقع النقطة على الخط. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب أن تحقق قيمة واحدة للبارامتر المعادلات الثلاث كلها معاً حتى تقع النقطة على الخط.

    نقاط التصحيح

    • وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3.
    • حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3.
    • التحقق من t = 3 في المعادلة الثانية: −1 + 6 = 5، وهي صحيحة.
    • التحقق من t = 3 في المعادلة الثالثة: 3 − 6 = −3، وهي صحيحة أيضاً، لذا تقع النقطة على الخط.

    ملاحظة الفاحص: يجب أن تحقق قيمة واحدة للبارامتر المعادلات الثلاث كلها معاً حتى تقع النقطة على الخط.

36. 36.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «معادلة خط متجهة هي r = (2, −1, 3) + t(1, 2, −2). حدد ما إذا كانت النقطة (5, 5, −3) تقع على هذا الخط.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التحقق من t = 3 في المعادلة الثانية: −1 + 6 = 5، وهي صحيحة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: التحقق من t = 3 في المعادلة الثالثة: 3 − 6 = −3، وهي صحيحة أيضاً، لذا تقع النقطة على الخط. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: وضع ثلاث معادلات: 2 + t = 5، و−1 + 2t = 5، و3 − 2t = −3.
    • يحدد المتطلب الناقص: حل المعادلة الأولى للحصول على t = 3.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق من t = 3 في المعادلة الثانية: −1 + 6 = 5، وهي صحيحة.
    • يحدد المتطلب الناقص: التحقق من t = 3 في المعادلة الثالثة: 3 − 6 = −3، وهي صحيحة أيضاً، لذا تقع النقطة على الخط.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

37. 37.

    متجهان p وq بحيث |p| = 5 و|q| = 3 والزاوية بينهما 60°. احسب |p + q|.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض القيم المعطاة: 25 + 9 + 2(5)(3)cos 60°. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب 2(5)(3)(0.5) = 15. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على |p + q|² = 49. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد |p + q| = 7. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: هذه هي صيغة قانون جيب التمام المتجهة؛ وتُطبَّق مباشرة كلما عُرفت الزاوية بين متجهين.

    نقاط التصحيح

    • استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ.
    • تعويض القيم المعطاة: 25 + 9 + 2(5)(3)cos 60°.
    • حساب 2(5)(3)(0.5) = 15.
    • الحصول على |p + q|² = 49.
    • تحديد |p + q| = 7.

    ملاحظة الفاحص: هذه هي صيغة قانون جيب التمام المتجهة؛ وتُطبَّق مباشرة كلما عُرفت الزاوية بين متجهين.

38. 38.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «متجهان p وq بحيث |p| = 5 و|q| = 3 والزاوية بينهما 60°. احسب |p + q|.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تعويض القيم المعطاة: 25 + 9 + 2(5)(3)cos 60°. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب 2(5)(3)(0.5) = 15. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |p + q|² = 49. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: تحديد |p + q| = 7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام |p + q|² = |p|² + |q|² + 2|p||q|cos θ.
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض القيم المعطاة: 25 + 9 + 2(5)(3)cos 60°.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب 2(5)(3)(0.5) = 15.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على |p + q|² = 49.
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد |p + q| = 7.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

39. 39.

    يحتوي مستوٍ على النقطة (1, 0, 2) وله متجه عمودي n = (2, −1, 3). اكتب المعادلة الديكارتية للمستوي.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على 2(x − 1) − 1(y − 0) + 3(z − 2) = 0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التبسيط للحصول على المعادلة الديكارتية 2x − y + 3z = 8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: معاملات x وy وz في المعادلة الديكارتية للمستوي هي بالضبط عناصر المتجه العمودي.

    نقاط التصحيح

    • استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين.
    • التعويض للحصول على 2(x − 1) − 1(y − 0) + 3(z − 2) = 0.
    • التبسيط للحصول على المعادلة الديكارتية 2x − y + 3z = 8.

    ملاحظة الفاحص: معاملات x وy وz في المعادلة الديكارتية للمستوي هي بالضبط عناصر المتجه العمودي.

40. 40.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحتوي مستوٍ على النقطة (1, 0, 2) وله متجه عمودي n = (2, −1, 3). اكتب المعادلة الديكارتية للمستوي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 2(x − 1) − 1(y − 0) + 3(z − 2) = 0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على المعادلة الديكارتية 2x − y + 3z = 8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام الصيغة n · (r − r₀) = 0 مع النقطة والعمودي المعطيين.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 2(x − 1) − 1(y − 0) + 3(z − 2) = 0.
    • يحدد المتطلب الناقص: التبسيط للحصول على المعادلة الديكارتية 2x − y + 3z = 8.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.