الرياضيات AA: المستوى العادي
الإحصاء والاحتمالات — الموضوع 4
- 1.
يأخذ المتغير العشوائي المتقطع X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.25 و0.50 و0.25. احسب E(X) وVar(X).
[5 درجة] - 2.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يأخذ المتغير العشوائي المتقطع X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.25 و0.50 و0.25. احسب E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 3.
احتمال ظهور الصورة لعملة منحازة هو 0.60. تُرمى 8 مرات. أوجد احتمال ظهور الصورة 5 مرات بالضبط وحدد معاملات التوزيع ذي الحدين.
[4 درجة] - 4.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احتمال ظهور الصورة لعملة منحازة هو 0.60. تُرمى 8 مرات. أوجد احتمال ظهور الصورة 5 مرات بالضبط وحدد معاملات التوزيع ذي الحدين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد X ~ B(8, 0.60).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 5.
توزع درجات اختبار في صف توزيعاً طبيعياً بمتوسط 68 وانحراف معياري 8. أوجد احتمال أن تتجاوز درجة طالب يُختار عشوائياً 80.
[3 درجة] - 6.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «توزع درجات اختبار في صف توزيعاً طبيعياً بمتوسط 68 وانحراف معياري 8. أوجد احتمال أن تتجاوز درجة طالب يُختار عشوائياً 80.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 7.
يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.4 وP(B) = 0.5 وP(A ∩ B) = 0.2. حدد ما إذا كان A وB مستقلين، مع توضيح الاستدلال.
[3 درجة] - 8.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.4 وP(B) = 0.5 وP(A ∩ B) = 0.2. حدد ما إذا كان A وB مستقلين، مع توضيح الاستدلال.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 9.
أظهر استطلاع لـ 200 طالب أن 120 يدرسون الرياضيات و90 يدرسون الفيزياء، منهم 50 يدرسون المادتين معاً. يُختار طالب عشوائياً. أوجد احتمال أن يدرس الرياضيات أو الفيزياء (أو كليهما).
[4 درجة] - 10.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أظهر استطلاع لـ 200 طالب أن 120 يدرسون الرياضيات و90 يدرسون الفيزياء، منهم 50 يدرسون المادتين معاً. يُختار طالب عشوائياً. أوجد احتمال أن يدرس الرياضيات أو الفيزياء (أو كليهما).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 11.
لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = x) = kx حيث x = 1, 2, 3, 4، وP(X = x) = 0 لغير ذلك. أوجد قيمة k واحسب E(X).
[5 درجة] - 12.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = x) = kx حيث x = 1, 2, 3, 4، وP(X = x) = 0 لغير ذلك. أوجد قيمة k واحسب E(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 13.
تتوزع درجات امتحان لمجموعة كبيرة توزيعاً طبيعياً تقريبياً بمتوسط 62 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة التي تفصل أعلى 10% من الطلاب عن الباقي.
[4 درجة] - 14.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتوزع درجات امتحان لمجموعة كبيرة توزيعاً طبيعياً تقريبياً بمتوسط 62 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة التي تفصل أعلى 10% من الطلاب عن الباقي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 15.
يُرمى نرد سداسي عادل مرتين. أوجد احتمال أن يكون مجموع الرميتين أكبر من 9.
[4 درجة] - 16.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُرمى نرد سداسي عادل مرتين. أوجد احتمال أن يكون مجموع الرميتين أكبر من 9.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 17.
يمتلك فحص لمرض دقة 95% للأشخاص المصابين ودقة 90% للأشخاص غير المصابين. في مجتمع ما، 2% من الأشخاص مصابون بالمرض. أوجد احتمال أن تكون نتيجة فحص شخص يُختار عشوائياً إيجابية.
[5 درجة] - 18.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمتلك فحص لمرض دقة 95% للأشخاص المصابين ودقة 90% للأشخاص غير المصابين. في مجتمع ما، 2% من الأشخاص مصابون بالمرض. أوجد احتمال أن تكون نتيجة فحص شخص يُختار عشوائياً إيجابية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 19.
تُحل كل مكالمة من 10 مكالمات مستقلة لمكتب خدمة من الاتصال الأول باحتمال 0.6. أوجد احتمال حل 4 مكالمات بالضبط من الاتصال الأول.
[3 درجة] - 20.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُحل كل مكالمة من 10 مكالمات مستقلة لمكتب خدمة من الاتصال الأول باحتمال 0.6. أوجد احتمال حل 4 مكالمات بالضبط من الاتصال الأول.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 21.
يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A ∪ B) = 0.8. أوجد P(A ∩ B) ومن ثم P(A | B).
[4 درجة] - 22.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A ∪ B) = 0.8. أوجد P(A ∩ B) ومن ثم P(A | B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 23.
X ~ B(15, 0.4). أوجد E(X) وVar(X).
[3 درجة] - 24.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(15, 0.4). أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(X) = np.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 25.
يُظهر الجدول عدد الأشقاء لـ20 طالباً: 0 شقيق (5 طلاب)، شقيق واحد (8 طلاب)، شقيقان (5 طلاب)، 3 أشقاء (طالبان). احسب متوسط عدد الأشقاء وانحرافه المعياري.
[5 درجة] - 26.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُظهر الجدول عدد الأشقاء لـ20 طالباً: 0 شقيق (5 طلاب)، شقيق واحد (8 طلاب)، شقيقان (5 طلاب)، 3 أشقاء (طالبان). احسب متوسط عدد الأشقاء وانحرافه المعياري.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة] - 27.
يُعطي رسم بياني انتشاري لساعات الدراسة مقابل درجة الامتحان معامل ارتباط بيرسون لعزم الضرب r = 0.85. فسّر هذه القيمة في سياقها، واذكر قيداً واحداً لاستخدام r للاستنتاج بأن الدراسة تسبب درجات أعلى.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 28.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُعطي رسم بياني انتشاري لساعات الدراسة مقابل درجة الامتحان معامل ارتباط بيرسون لعزم الضرب r = 0.85. فسّر هذه القيمة في سياقها، واذكر قيداً واحداً لاستخدام r للاستنتاج بأن الدراسة تسبب درجات أعلى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 29.
نمذجت دراسة ميدانية درجة حرارة الهواء بعد الظهر T (°C) باستخدام نسبة الغطاء الشجري x (%) وفق العلاقة T = 31.8 − 0.084x. معامل الارتباط هو r = −0.91. (أ) توقّع T عندما x = 65. (ب) فسّر الميل في سياق المسألة. (ج) اشرح لماذا لا يثبت هذا النموذج وحده أن زيادة الغطاء الشجري تسبب تغير درجة الحرارة. (د) اذكر أثر زيادة كل قيمة مسجلة للغطاء الشجري بمقدار 5 نقاط مئوية على r.
[4 درجة] - 30.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «نمذجت دراسة ميدانية درجة حرارة الهواء بعد الظهر T (°C) باستخدام نسبة الغطاء الشجري x (%) وفق العلاقة T = 31.8 − 0.084x. معامل الارتباط هو r = −0.91. (أ) توقّع T عندما x = 65. (ب) فسّر الميل في سياق المسألة. (ج) اشرح لماذا لا يثبت هذا النموذج وحده أن زيادة الغطاء الشجري تسبب تغير درجة الحرارة. (د) اذكر أثر زيادة كل قيمة مسجلة للغطاء الشجري بمقدار 5 نقاط مئوية على r.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 31.
يأخذ X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.2 و0.5 و0.3 على الترتيب. أوجد E(X) وVar(X).
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 32.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يأخذ X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.2 و0.5 و0.3 على الترتيب. أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «E(X) = 0(0.2) + 1(0.5) + 2(0.3) = 1.1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 33.
يتنبأ نموذج ملائم بالمعادلة y = 2.4x + 15 من بيانات مجالها 1 <= x <= 5. تنبأ بـy عند x = 3 واشرح لماذا يقل الاعتماد عليه عند x = 20.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 34.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتنبأ نموذج ملائم بالمعادلة y = 2.4x + 15 من بيانات مجالها 1 <= x <= 5. تنبأ بـy عند x = 3 واشرح لماذا يقل الاعتماد عليه عند x = 20.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «عند x = 3، y = 2.4(3) + 15 = 22.2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] · بدون آلة حاسبة - 35.
لست محاولات مستقلة احتمال نجاح 0.3 لكل منها. أوجد احتمال نجاحين على الأقل وحدّد التوزيع المستخدم.
[4 درجة] - 36.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لست محاولات مستقلة احتمال نجاح 0.3 لكل منها. أوجد احتمال نجاحين على الأقل وحدّد التوزيع المستخدم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يتبع X التوزيع Binomial(6,0.3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[4 درجة] - 37.
تُنمذج الدرجات بتوزيع طبيعي متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8. أوجد P(62 < X < 78) بثلاثة أرقام معنوية وفسّر النتيجة كتنبؤ للنموذج.
[3 درجة] - 38.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج الدرجات بتوزيع طبيعي متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8. أوجد P(62 < X < 78) بثلاثة أرقام معنوية وفسّر النتيجة كتنبؤ للنموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الحدان المعياريان (62 - 70)/8 = -1 و(78 - 70)/8 = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[3 درجة] - 39.
يصنع المصنع A نسبة 60% من منتجات شركة وB نسبة 40%. نسب العيوب 2% في A و5% في B. منتج مختار عشوائياً معيب. أوجد احتمال أنه من B.
[5 درجة] - 40.
تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصنع المصنع A نسبة 60% من منتجات شركة وB نسبة 40%. نسب العيوب 2% في A و5% في B. منتج مختار عشوائياً معيب. أوجد احتمال أنه من B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «P(A ومعيب) = 0.6(0.02) = 0.012.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.
[5 درجة]