الرياضيات AA: المستوى العادي

1. 1.

   يأخذ المتغير العشوائي المتقطع X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.25 و0.50 و0.25. احسب E(X) وVar(X).

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X) = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب E(X²) = 0²(0.25) + 1²(0.50) + 2²(0.25). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X²) = 1.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على 0.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يستخدم التباين E(X²)، وليس مربع كل احتمال.

   نقاط التصحيح

   • حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25).
   • الحصول على E(X) = 1.
   • حساب E(X²) = 0²(0.25) + 1²(0.50) + 2²(0.25).
   • الحصول على E(X²) = 1.5.
   • استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على 0.5.

   ملاحظة الفاحص: يستخدم التباين E(X²)، وليس مربع كل احتمال.

2. 2.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يأخذ المتغير العشوائي المتقطع X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.25 و0.50 و0.25. احسب E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [5 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X²) = 0²(0.25) + 1²(0.50) + 2²(0.25). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X²) = 1.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على 0.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب E(X) = 0(0.25) + 1(0.50) + 2(0.25).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 1.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X²) = 0²(0.25) + 1²(0.50) + 2²(0.25).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X²) = 1.5.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام Var(X) = E(X²) − [E(X)]² للحصول على 0.5.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

3. 3.

   احتمال ظهور الصورة لعملة منحازة هو 0.60. تُرمى 8 مرات. أوجد احتمال ظهور الصورة 5 مرات بالضبط وحدد معاملات التوزيع ذي الحدين.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد X ~ B(8, 0.60). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام P(X=5) = 8C5(0.60)⁵(0.40)³. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب التوافيق 8C5 = 56. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X=5) ≈ 0.279. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ظهور الصورة خمس مرات بالضبط يتطلب خمس نجاحات وثلاث حالات فشل.

   نقاط التصحيح

   • تحديد X ~ B(8, 0.60).
   • استخدام P(X=5) = 8C5(0.60)⁵(0.40)³.
   • حساب التوافيق 8C5 = 56.
   • الحصول على P(X=5) ≈ 0.279.

   ملاحظة الفاحص: ظهور الصورة خمس مرات بالضبط يتطلب خمس نجاحات وثلاث حالات فشل.

4. 4.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «احتمال ظهور الصورة لعملة منحازة هو 0.60. تُرمى 8 مرات. أوجد احتمال ظهور الصورة 5 مرات بالضبط وحدد معاملات التوزيع ذي الحدين.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد X ~ B(8, 0.60).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد X ~ B(8, 0.60). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(X=5) = 8C5(0.60)⁵(0.40)³. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب التوافيق 8C5 = 56. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X=5) ≈ 0.279. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد X ~ B(8, 0.60).
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(X=5) = 8C5(0.60)⁵(0.40)³.
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب التوافيق 8C5 = 56.
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X=5) ≈ 0.279.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

5. 5.

   توزع درجات اختبار في صف توزيعاً طبيعياً بمتوسط 68 وانحراف معياري 8. أوجد احتمال أن تتجاوز درجة طالب يُختار عشوائياً 80.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام التوزيع الطبيعي لإيجاد P(Z > 1.5). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X > 80) ≈ 0.0668. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: وحّد القيمة عند استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أو استخدم دالة التوزيع التراكمي الطبيعي في الآلة بمتوسط 68 وانحراف معياري 8 مباشرة. كلتا الطريقتين صحيحة.

   نقاط التصحيح

   • التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5.
   • استخدام التوزيع الطبيعي لإيجاد P(Z > 1.5).
   • الحصول على P(X > 80) ≈ 0.0668.

   ملاحظة الفاحص: وحّد القيمة عند استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أو استخدم دالة التوزيع التراكمي الطبيعي في الآلة بمتوسط 68 وانحراف معياري 8 مباشرة. كلتا الطريقتين صحيحة.

6. 6.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «توزع درجات اختبار في صف توزيعاً طبيعياً بمتوسط 68 وانحراف معياري 8. أوجد احتمال أن تتجاوز درجة طالب يُختار عشوائياً 80.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع الطبيعي لإيجاد P(Z > 1.5). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X > 80) ≈ 0.0668. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: التوحيد باستخدام z = (80 − 68)/8 = 1.5.
   • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التوزيع الطبيعي لإيجاد P(Z > 1.5).
   • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X > 80) ≈ 0.0668.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

7. 7.

   يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.4 وP(B) = 0.5 وP(A ∩ B) = 0.2. حدد ما إذا كان A وB مستقلين، مع توضيح الاستدلال.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(A)×P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.20. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: مقارنة 0.20 بالقيمة المعطاة P(A ∩ B) = 0.2 والاستنتاج أن A وB مستقلان. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يجب اختبار الاستقلال عددياً باستخدام قاعدة الضرب؛ ولا يمكن افتراضه من الصياغة وحدها.

   نقاط التصحيح

   • توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B).
   • حساب P(A)×P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.20.
   • مقارنة 0.20 بالقيمة المعطاة P(A ∩ B) = 0.2 والاستنتاج أن A وB مستقلان.

   ملاحظة الفاحص: يجب اختبار الاستقلال عددياً باستخدام قاعدة الضرب؛ ولا يمكن افتراضه من الصياغة وحدها.

8. 8.

   تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.4 وP(B) = 0.5 وP(A ∩ B) = 0.2. حدد ما إذا كان A وB مستقلين، مع توضيح الاستدلال.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

   [3 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
   2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب P(A)×P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.20. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 0.20 بالقيمة المعطاة P(A ∩ B) = 0.2 والاستنتاج أن A وB مستقلان. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
   5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

   نقاط التصحيح

   • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح شرط الاستقلال P(A)×P(B) = P(A ∩ B).
   • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(A)×P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.20.
   • يحدد المتطلب الناقص: مقارنة 0.20 بالقيمة المعطاة P(A ∩ B) = 0.2 والاستنتاج أن A وB مستقلان.

   ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

9. 9.

   أظهر استطلاع لـ 200 طالب أن 120 يدرسون الرياضيات و90 يدرسون الفيزياء، منهم 50 يدرسون المادتين معاً. يُختار طالب عشوائياً. أوجد احتمال أن يدرس الرياضيات أو الفيزياء (أو كليهما).

   [4 درجة]

   شرح الإجابة

   الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

   1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
   2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب كل احتمال: P(M) = 120/200، P(P) = 90/200، P(M ∩ P) = 50/200. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: التعويض للحصول على 0.6 + 0.45 − 0.25. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(M ∪ P) = 0.8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
   6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يؤدي جمع P(M) وP(P) مباشرة إلى عدّ الطلاب الذين يدرسون المادتين مرتين، لذا يجب طرح التقاطع.

   نقاط التصحيح

   • استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P).
   • حساب كل احتمال: P(M) = 120/200، P(P) = 90/200، P(M ∩ P) = 50/200.
   • التعويض للحصول على 0.6 + 0.45 − 0.25.
   • الحصول على P(M ∪ P) = 0.8.

   ملاحظة الفاحص: يؤدي جمع P(M) وP(P) مباشرة إلى عدّ الطلاب الذين يدرسون المادتين مرتين، لذا يجب طرح التقاطع.

10. 10.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «أظهر استطلاع لـ 200 طالب أن 120 يدرسون الرياضيات و90 يدرسون الفيزياء، منهم 50 يدرسون المادتين معاً. يُختار طالب عشوائياً. أوجد احتمال أن يدرس الرياضيات أو الفيزياء (أو كليهما).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب كل احتمال: P(M) = 120/200، P(P) = 90/200، P(M ∩ P) = 50/200. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 0.6 + 0.45 − 0.25. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(M ∪ P) = 0.8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام قاعدة الجمع P(M ∪ P) = P(M) + P(P) − P(M ∩ P).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب كل احتمال: P(M) = 120/200، P(P) = 90/200، P(M ∩ P) = 50/200.
    • يحدد المتطلب الناقص: التعويض للحصول على 0.6 + 0.45 − 0.25.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(M ∪ P) = 0.8.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

11. 11.

    لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = x) = kx حيث x = 1, 2, 3, 4، وP(X = x) = 0 لغير ذلك. أوجد قيمة k واحسب E(X).

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحل للحصول على k = 1/10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: سرد الاحتمالات: P(1)=0.1، P(2)=0.2، P(3)=0.3، P(4)=0.4. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب E(X) = 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X) = 3.0. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: استخدم شرط مجموع الاحتمالات لإيجاد k. يمكنك حساب E(X) رمزياً أولاً ثم تعويض k لاحقاً.

    نقاط التصحيح

    • استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1.
    • الحل للحصول على k = 1/10.
    • سرد الاحتمالات: P(1)=0.1، P(2)=0.2، P(3)=0.3، P(4)=0.4.
    • حساب E(X) = 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4).
    • الحصول على E(X) = 3.0.

    ملاحظة الفاحص: استخدم شرط مجموع الاحتمالات لإيجاد k. يمكنك حساب E(X) رمزياً أولاً ثم تعويض k لاحقاً.

12. 12.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لمتغير عشوائي متقطع X توزيع احتمالي P(X = x) = kx حيث x = 1, 2, 3, 4، وP(X = x) = 0 لغير ذلك. أوجد قيمة k واحسب E(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على k = 1/10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: سرد الاحتمالات: P(1)=0.1، P(2)=0.2، P(3)=0.3، P(4)=0.4. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X) = 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 3.0. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام شرط أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: k(1+2+3+4) = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحل للحصول على k = 1/10.
    • يحدد المتطلب الناقص: سرد الاحتمالات: P(1)=0.1، P(2)=0.2، P(3)=0.3، P(4)=0.4.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب E(X) = 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4).
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 3.0.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

13. 13.

    تتوزع درجات امتحان لمجموعة كبيرة توزيعاً طبيعياً تقريبياً بمتوسط 62 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة التي تفصل أعلى 10% من الطلاب عن الباقي.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على z ≈ 1.2816. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام x = μ + zσ. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على x ≈ 74.8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يتطلب إيجاد درجة حدية من نسبة مئوية استخدام معكوس التوزيع الطبيعي، بالانتقال من الاحتمال إلى قيمة z.

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10.
    • استخدام معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على z ≈ 1.2816.
    • استخدام x = μ + zσ.
    • الحصول على x ≈ 74.8.

    ملاحظة الفاحص: يتطلب إيجاد درجة حدية من نسبة مئوية استخدام معكوس التوزيع الطبيعي، بالانتقال من الاحتمال إلى قيمة z.

14. 14.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تتوزع درجات امتحان لمجموعة كبيرة توزيعاً طبيعياً تقريبياً بمتوسط 62 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة التي تفصل أعلى 10% من الطلاب عن الباقي.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على z ≈ 1.2816. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: استخدام x = μ + zσ. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ 74.8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن قيمة z المطلوبة تحقق P(Z > z) = 0.10.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام معكوس التوزيع الطبيعي للحصول على z ≈ 1.2816.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام x = μ + zσ.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على x ≈ 74.8.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

15. 15.

    يُرمى نرد سداسي عادل مرتين. أوجد احتمال أن يكون مجموع الرميتين أكبر من 9.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: سرد النواتج التي مجموعها أكبر من 9: المجاميع 10 و11 و12. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: عدّ هذه النواتج بشكل صحيح وهي 6 (وهي (4,6)،(5,5)،(5,6)،(6,4)،(6,5)،(6,6)). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد الاحتمال 6/36 = 1/6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: سرد النواتج كأزواج مرتبة بطريقة منهجية لتجنب إغفال أو تكرار أي توليفة.

    نقاط التصحيح

    • تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً.
    • سرد النواتج التي مجموعها أكبر من 9: المجاميع 10 و11 و12.
    • عدّ هذه النواتج بشكل صحيح وهي 6 (وهي (4,6)،(5,5)،(5,6)،(6,4)،(6,5)،(6,6)).
    • تحديد الاحتمال 6/36 = 1/6.

    ملاحظة الفاحص: سرد النواتج كأزواج مرتبة بطريقة منهجية لتجنب إغفال أو تكرار أي توليفة.

16. 16.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُرمى نرد سداسي عادل مرتين. أوجد احتمال أن يكون مجموع الرميتين أكبر من 9.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: سرد النواتج التي مجموعها أكبر من 9: المجاميع 10 و11 و12. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: عدّ هذه النواتج بشكل صحيح وهي 6 (وهي (4,6)،(5,5)،(5,6)،(6,4)،(6,5)،(6,6)). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تحديد الاحتمال 6/36 = 1/6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد أن هناك 36 ناتجاً متساوي الاحتمال إجمالاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: سرد النواتج التي مجموعها أكبر من 9: المجاميع 10 و11 و12.
    • يحدد المتطلب الناقص: عدّ هذه النواتج بشكل صحيح وهي 6 (وهي (4,6)،(5,5)،(5,6)،(6,4)،(6,5)،(6,6)).
    • يحدد المتطلب الناقص: تحديد الاحتمال 6/36 = 1/6.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

17. 17.

    يمتلك فحص لمرض دقة 95% للأشخاص المصابين ودقة 90% للأشخاص غير المصابين. في مجتمع ما، 2% من الأشخاص مصابون بالمرض. أوجد احتمال أن تكون نتيجة فحص شخص يُختار عشوائياً إيجابية.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(مصاب وإيجابية) = 0.02 × 0.95 = 0.019. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب P(غير مصاب وإيجابية) = 0.98 × 0.10 = 0.098. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: جمع المسارين المتنافيين. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(إيجابية) = 0.117. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تجعل شجرة الاحتمالات مسائل الاحتمال الشرطي كهذه أسهل بكثير في الإعداد الصحيح.

    نقاط التصحيح

    • تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة).
    • حساب P(مصاب وإيجابية) = 0.02 × 0.95 = 0.019.
    • حساب P(غير مصاب وإيجابية) = 0.98 × 0.10 = 0.098.
    • جمع المسارين المتنافيين.
    • الحصول على P(إيجابية) = 0.117.

    ملاحظة الفاحص: تجعل شجرة الاحتمالات مسائل الاحتمال الشرطي كهذه أسهل بكثير في الإعداد الصحيح.

18. 18.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يمتلك فحص لمرض دقة 95% للأشخاص المصابين ودقة 90% للأشخاص غير المصابين. في مجتمع ما، 2% من الأشخاص مصابون بالمرض. أوجد احتمال أن تكون نتيجة فحص شخص يُختار عشوائياً إيجابية.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب P(مصاب وإيجابية) = 0.02 × 0.95 = 0.019. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب P(غير مصاب وإيجابية) = 0.98 × 0.10 = 0.098. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: جمع المسارين المتنافيين. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(إيجابية) = 0.117. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: تحديد المسارين المؤديين لنتيجة إيجابية: (مصاب وإيجابية صحيحة) أو (غير مصاب وإيجابية خاطئة).
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(مصاب وإيجابية) = 0.02 × 0.95 = 0.019.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب P(غير مصاب وإيجابية) = 0.98 × 0.10 = 0.098.
    • يحدد المتطلب الناقص: جمع المسارين المتنافيين.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(إيجابية) = 0.117.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

19. 19.

    تُحل كل مكالمة من 10 مكالمات مستقلة لمكتب خدمة من الاتصال الأول باحتمال 0.6. أوجد احتمال حل 4 مكالمات بالضبط من الاتصال الأول.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام P(X = 4) = 10C4 × 0.6⁴ × 0.4⁶. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(X = 4) = 0.111476736 ≈ 0.1115. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: يستخدم نموذج ذي الحدين عدداً ثابتاً من المحاولات المستقلة ونتيجتين لكل محاولة واحتمال نجاح ثابتاً في كل محاولة.

    نقاط التصحيح

    • نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6).
    • استخدام P(X = 4) = 10C4 × 0.6⁴ × 0.4⁶.
    • الحصول على P(X = 4) = 0.111476736 ≈ 0.1115.

    ملاحظة الفاحص: يستخدم نموذج ذي الحدين عدداً ثابتاً من المحاولات المستقلة ونتيجتين لكل محاولة واحتمال نجاح ثابتاً في كل محاولة.

20. 20.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُحل كل مكالمة من 10 مكالمات مستقلة لمكتب خدمة من الاتصال الأول باحتمال 0.6. أوجد احتمال حل 4 مكالمات بالضبط من الاتصال الأول.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(X = 4) = 10C4 × 0.6⁴ × 0.4⁶. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 4) = 0.111476736 ≈ 0.1115. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: نمذجة عدد المكالمات المحلولة: X ~ B(10, 0.6).
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام P(X = 4) = 10C4 × 0.6⁴ × 0.4⁶.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(X = 4) = 0.111476736 ≈ 0.1115.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

21. 21.

    يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A ∪ B) = 0.8. أوجد P(A ∩ B) ومن ثم P(A | B).

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على P(A ∩ B) = 0.3. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: تعويض 0.3/0.5 للحصول على P(A | B) = 0.6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: كلما لم تُعطَ P(A ∩ B) مباشرة، تحقق مما إذا كان يمكن إيجادها أولاً من قاعدة الجمع باستخدام P(A) وP(B) وP(A ∪ B) — هذه خطوة أولى شائعة قبل حساب احتمال شرطي.

    نقاط التصحيح

    • استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8.
    • الحصول على P(A ∩ B) = 0.3.
    • كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).
    • تعويض 0.3/0.5 للحصول على P(A | B) = 0.6.

    ملاحظة الفاحص: كلما لم تُعطَ P(A ∩ B) مباشرة، تحقق مما إذا كان يمكن إيجادها أولاً من قاعدة الجمع باستخدام P(A) وP(B) وP(A ∪ B) — هذه خطوة أولى شائعة قبل حساب احتمال شرطي.

22. 22.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يحقق الحدثان A وB أن P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A ∪ B) = 0.8. أوجد P(A ∩ B) ومن ثم P(A | B).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(A ∩ B) = 0.3. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: تعويض 0.3/0.5 للحصول على P(A | B) = 0.6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: استخدام P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) لإيجاد P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على P(A ∩ B) = 0.3.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B).
    • يحدد المتطلب الناقص: تعويض 0.3/0.5 للحصول على P(A | B) = 0.6.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

23. 23.

    X ~ B(15, 0.4). أوجد E(X) وVar(X).

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة E(X) = np. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على E(X) = 15 × 0.4 = 6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: كتابة Var(X) = np(1 − p)، والحصول على Var(X) = 15 × 0.4 × 0.6 = 3.6. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: لا تنطبق هاتان الصيغتان المختصرتان إلا على متغير عشوائي ذي حدين — لا تستخدمهما لأي توزيع آخر.

    نقاط التصحيح

    • كتابة E(X) = np.
    • الحصول على E(X) = 15 × 0.4 = 6.
    • كتابة Var(X) = np(1 − p)، والحصول على Var(X) = 15 × 0.4 × 0.6 = 3.6.

    ملاحظة الفاحص: لا تنطبق هاتان الصيغتان المختصرتان إلا على متغير عشوائي ذي حدين — لا تستخدمهما لأي توزيع آخر.

24. 24.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «X ~ B(15, 0.4). أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «كتابة E(X) = np.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(X) = np. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 15 × 0.4 = 6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(X) = np(1 − p)، والحصول على Var(X) = 15 × 0.4 × 0.6 = 3.6. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: كتابة E(X) = np.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على E(X) = 15 × 0.4 = 6.
    • يحدد المتطلب الناقص: كتابة Var(X) = np(1 − p)، والحصول على Var(X) = 15 × 0.4 × 0.6 = 3.6.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

25. 25.

    يُظهر الجدول عدد الأشقاء لـ20 طالباً: 0 شقيق (5 طلاب)، شقيق واحد (8 طلاب)، شقيقان (5 طلاب)، 3 أشقاء (طالبان). احسب متوسط عدد الأشقاء وانحرافه المعياري.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب المتوسط = 24/20 = 1.2. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: حساب Σfx² = 0²(5) + 1²(8) + 2²(5) + 3²(2) = 46. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: استخدام التباين = Σfx²/n − متوسط² = 46/20 − 1.2² = 0.86. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: الحصول على انحراف معياري = √0.86 ≈ 0.927. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: بالنسبة لبيانات جدول التكرار، رجّح دائماً كل قيمة بتكرارها (Σfx وΣfx²) بدلاً من معاملة كل قيمة متمايزة على أنها تحدث مرة واحدة فقط.

    نقاط التصحيح

    • حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24.
    • حساب المتوسط = 24/20 = 1.2.
    • حساب Σfx² = 0²(5) + 1²(8) + 2²(5) + 3²(2) = 46.
    • استخدام التباين = Σfx²/n − متوسط² = 46/20 − 1.2² = 0.86.
    • الحصول على انحراف معياري = √0.86 ≈ 0.927.

    ملاحظة الفاحص: بالنسبة لبيانات جدول التكرار، رجّح دائماً كل قيمة بتكرارها (Σfx وΣfx²) بدلاً من معاملة كل قيمة متمايزة على أنها تحدث مرة واحدة فقط.

26. 26.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُظهر الجدول عدد الأشقاء لـ20 طالباً: 0 شقيق (5 طلاب)، شقيق واحد (8 طلاب)، شقيقان (5 طلاب)، 3 أشقاء (طالبان). احسب متوسط عدد الأشقاء وانحرافه المعياري.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: حساب المتوسط = 24/20 = 1.2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: حساب Σfx² = 0²(5) + 1²(8) + 2²(5) + 3²(2) = 46. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: استخدام التباين = Σfx²/n − متوسط² = 46/20 − 1.2² = 0.86. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الحصول على انحراف معياري = √0.86 ≈ 0.927. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: حساب Σfx = 0(5) + 1(8) + 2(5) + 3(2) = 24.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب المتوسط = 24/20 = 1.2.
    • يحدد المتطلب الناقص: حساب Σfx² = 0²(5) + 1²(8) + 2²(5) + 3²(2) = 46.
    • يحدد المتطلب الناقص: استخدام التباين = Σfx²/n − متوسط² = 46/20 − 1.2² = 0.86.
    • يحدد المتطلب الناقص: الحصول على انحراف معياري = √0.86 ≈ 0.927.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

27. 27.

    يُعطي رسم بياني انتشاري لساعات الدراسة مقابل درجة الامتحان معامل ارتباط بيرسون لعزم الضرب r = 0.85. فسّر هذه القيمة في سياقها، واذكر قيداً واحداً لاستخدام r للاستنتاج بأن الدراسة تسبب درجات أعلى.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. قسّم المطلوب إلى أجزائه. اربط في كل جزء حقيقةً أو ملاحظةً مناسبة بالنتيجة التي تدعمها. وصف ما يحدث وتفسير سبب حدوثه مهمتان مختلفتان.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: توضيح أنه مع زيادة ساعات الدراسة، تميل درجة الامتحان إلى الزيادة أيضاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: ذكر القيد بأن الارتباط لا يعني السببية — لا تُثبت قيمة r القوية وحدها أن الدراسة تسبب الزيادة في الدرجة، لأن متغيراً مربكاً أو مصادفة يمكن أن يفسرا النمط أيضاً. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: ينطبق قيد 'الارتباط ليس سببية' هذا على كل معامل ارتباط، بغض النظر عن قوته — تصف قيمة r المرتفعة فقط قوة واتجاه الارتباط الخطي، ولا تصف أبداً السبب الأساسي.

    نقاط التصحيح

    • توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان.
    • توضيح أنه مع زيادة ساعات الدراسة، تميل درجة الامتحان إلى الزيادة أيضاً.
    • ذكر القيد بأن الارتباط لا يعني السببية — لا تُثبت قيمة r القوية وحدها أن الدراسة تسبب الزيادة في الدرجة، لأن متغيراً مربكاً أو مصادفة يمكن أن يفسرا النمط أيضاً.

    ملاحظة الفاحص: ينطبق قيد 'الارتباط ليس سببية' هذا على كل معامل ارتباط، بغض النظر عن قوته — تصف قيمة r المرتفعة فقط قوة واتجاه الارتباط الخطي، ولا تصف أبداً السبب الأساسي.

28. 28.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُعطي رسم بياني انتشاري لساعات الدراسة مقابل درجة الامتحان معامل ارتباط بيرسون لعزم الضرب r = 0.85. فسّر هذه القيمة في سياقها، واذكر قيداً واحداً لاستخدام r للاستنتاج بأن الدراسة تسبب درجات أعلى.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه مع زيادة ساعات الدراسة، تميل درجة الامتحان إلى الزيادة أيضاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: ذكر القيد بأن الارتباط لا يعني السببية — لا تُثبت قيمة r القوية وحدها أن الدراسة تسبب الزيادة في الدرجة، لأن متغيراً مربكاً أو مصادفة يمكن أن يفسرا النمط أيضاً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: توضيح أن r = 0.85 يدل على ارتباط خطي قوي وموجب بين ساعات الدراسة ودرجة الامتحان.
    • يحدد المتطلب الناقص: توضيح أنه مع زيادة ساعات الدراسة، تميل درجة الامتحان إلى الزيادة أيضاً.
    • يحدد المتطلب الناقص: ذكر القيد بأن الارتباط لا يعني السببية — لا تُثبت قيمة r القوية وحدها أن الدراسة تسبب الزيادة في الدرجة، لأن متغيراً مربكاً أو مصادفة يمكن أن يفسرا النمط أيضاً.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

29. 29.

    نمذجت دراسة ميدانية درجة حرارة الهواء بعد الظهر T (°C) باستخدام نسبة الغطاء الشجري x (%) وفق العلاقة T = 31.8 − 0.084x. معامل الارتباط هو r = −0.91. (أ) توقّع T عندما x = 65. (ب) فسّر الميل في سياق المسألة. (ج) اشرح لماذا لا يثبت هذا النموذج وحده أن زيادة الغطاء الشجري تسبب تغير درجة الحرارة. (د) اذكر أثر زيادة كل قيمة مسجلة للغطاء الشجري بمقدار 5 نقاط مئوية على r.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. دوّن المقادير المعطاة والمجهول المطلوب. اختر العلاقة التي تربطها واذكر الافتراضات اللازمة ثم عوّض قبل التقريب. احتفظ بالتعبيرات الدقيقة عندما يطلب السؤال نتيجة دقيقة.
    2. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C). اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    3. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يفسّر الميل: ترتبط كل نقطة مئوية إضافية من الغطاء الشجري بانخفاض متوقع مقداره 0.084 °C في درجة حرارة بعد الظهر. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    4. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يوضح أن الارتباط/الانحدار لا يثبت السببية ويحدد عاملاً مربكاً محتملاً أو الحاجة إلى تصميم مضبوط. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    5. نفّذ هذه الخطوة الرياضية: يذكر أن r لا يتغير لأن إضافة الثابت نفسه إلى كل قيمة x لا تغير الارتباط. اكتب العملية الوسيطة وحافظ على اتساق الوحدات عند وجودها وتحقق من العلاقة باستخدام معطيات السؤال.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: افصل بين التنبؤ والتفسير والسببية؛ فالارتباط القوي لا يُعد تجربة مضبوطة.

    نقاط التصحيح

    • يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C).
    • يفسّر الميل: ترتبط كل نقطة مئوية إضافية من الغطاء الشجري بانخفاض متوقع مقداره 0.084 °C في درجة حرارة بعد الظهر.
    • يوضح أن الارتباط/الانحدار لا يثبت السببية ويحدد عاملاً مربكاً محتملاً أو الحاجة إلى تصميم مضبوط.
    • يذكر أن r لا يتغير لأن إضافة الثابت نفسه إلى كل قيمة x لا تغير الارتباط.

    ملاحظة الفاحص: افصل بين التنبؤ والتفسير والسببية؛ فالارتباط القوي لا يُعد تجربة مضبوطة.

30. 30.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «نمذجت دراسة ميدانية درجة حرارة الهواء بعد الظهر T (°C) باستخدام نسبة الغطاء الشجري x (%) وفق العلاقة T = 31.8 − 0.084x. معامل الارتباط هو r = −0.91. (أ) توقّع T عندما x = 65. (ب) فسّر الميل في سياق المسألة. (ج) اشرح لماذا لا يثبت هذا النموذج وحده أن زيادة الغطاء الشجري تسبب تغير درجة الحرارة. (د) اذكر أثر زيادة كل قيمة مسجلة للغطاء الشجري بمقدار 5 نقاط مئوية على r.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: يفسّر الميل: ترتبط كل نقطة مئوية إضافية من الغطاء الشجري بانخفاض متوقع مقداره 0.084 °C في درجة حرارة بعد الظهر. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: يوضح أن الارتباط/الانحدار لا يثبت السببية ويحدد عاملاً مربكاً محتملاً أو الحاجة إلى تصميم مضبوط. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: يذكر أن r لا يتغير لأن إضافة الثابت نفسه إلى كل قيمة x لا تغير الارتباط. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يعوّض x = 65 للحصول على T = 31.8 − 0.084(65) = 26.34 °C (نحو 26.3 °C).
    • يحدد المتطلب الناقص: يفسّر الميل: ترتبط كل نقطة مئوية إضافية من الغطاء الشجري بانخفاض متوقع مقداره 0.084 °C في درجة حرارة بعد الظهر.
    • يحدد المتطلب الناقص: يوضح أن الارتباط/الانحدار لا يثبت السببية ويحدد عاملاً مربكاً محتملاً أو الحاجة إلى تصميم مضبوط.
    • يحدد المتطلب الناقص: يذكر أن r لا يتغير لأن إضافة الثابت نفسه إلى كل قيمة x لا تغير الارتباط.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

31. 31.

    يأخذ X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.2 و0.5 و0.3 على الترتيب. أوجد E(X) وVar(X).

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. زِن كل قيمة باحتمالها. للعزم الثاني ربّع القيم قبل الوزن بدلاً من تربيع المتوسط.
    2. طرح مربع المتوسط يزيل أثر الموقع ويبقي التشتت؛ الانحراف المعياري 0.7 وليس 0.49.

    نقاط التصحيح

    • E(X) = 0(0.2) + 1(0.5) + 2(0.3) = 1.1.
    • E(X^2) = 0 + 1(0.5) + 4(0.3) = 1.7.
    • Var(X) = 1.7 - 1.1^2 = 0.49.

    ملاحظة الفاحص: التباين والانحراف المعياري ليسا قابلين للتبادل.

32. 32.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يأخذ X القيم 0 و1 و2 باحتمالات 0.2 و0.5 و0.3 على الترتيب. أوجد E(X) وVar(X).» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «E(X) = 0(0.2) + 1(0.5) + 2(0.3) = 1.1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: E(X) = 0(0.2) + 1(0.5) + 2(0.3) = 1.1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: E(X^2) = 0 + 1(0.5) + 4(0.3) = 1.7. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: Var(X) = 1.7 - 1.1^2 = 0.49. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: E(X) = 0(0.2) + 1(0.5) + 2(0.3) = 1.1.
    • يحدد المتطلب الناقص: E(X^2) = 0 + 1(0.5) + 4(0.3) = 1.7.
    • يحدد المتطلب الناقص: Var(X) = 1.7 - 1.1^2 = 0.49.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

33. 33.

    يتنبأ نموذج ملائم بالمعادلة y = 2.4x + 15 من بيانات مجالها 1 <= x <= 5. تنبأ بـy عند x = 3 واشرح لماذا يقل الاعتماد عليه عند x = 20.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. التعويض عند x = 3 استيفاء لأنه داخل المجال الذي شملته العينة.
    2. تعطي المعادلة 63 عند x = 20، لكن الحصول على رقم لا يثبت بقاء النموذج صالحاً هناك.

    نقاط التصحيح

    • عند x = 3، y = 2.4(3) + 15 = 22.2.
    • تقع x = 20 خارج المجال المرصود فيكون استخدامها استقراءً خارجياً.
    • قد لا تستمر العلاقة الخطية خارج مجال البيانات؛ فلا يوجد ضمان لتنبؤ موثوق.

    ملاحظة الفاحص: التنبؤ مشروط بافتراضات النموذج وليس إثباتاً للسببية.

34. 34.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يتنبأ نموذج ملائم بالمعادلة y = 2.4x + 15 من بيانات مجالها 1 <= x <= 5. تنبأ بـy عند x = 3 واشرح لماذا يقل الاعتماد عليه عند x = 20.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «عند x = 3، y = 2.4(3) + 15 = 22.2.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة] · بدون آلة حاسبة

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: عند x = 3، y = 2.4(3) + 15 = 22.2. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: تقع x = 20 خارج المجال المرصود فيكون استخدامها استقراءً خارجياً. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: قد لا تستمر العلاقة الخطية خارج مجال البيانات؛ فلا يوجد ضمان لتنبؤ موثوق. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: عند x = 3، y = 2.4(3) + 15 = 22.2.
    • يحدد المتطلب الناقص: تقع x = 20 خارج المجال المرصود فيكون استخدامها استقراءً خارجياً.
    • يحدد المتطلب الناقص: قد لا تستمر العلاقة الخطية خارج مجال البيانات؛ فلا يوجد ضمان لتنبؤ موثوق.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

35. 35.

    لست محاولات مستقلة احتمال نجاح 0.3 لكل منها. أوجد احتمال نجاحين على الأقل وحدّد التوزيع المستخدم.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. نجاحان على الأقل يشمل 2 و3 و4 و5 و6 نجاحات. لمتممه نتيجتان فقط، فيكون حسابه أسرع وأقل عرضة للخطأ.
    2. يعد معامل ثنائي الحدين 6 المواضع الستة الممكنة للنجاح الوحيد.

    نقاط التصحيح

    • يتبع X التوزيع Binomial(6,0.3).
    • P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1).
    • P(X = 0) = 0.7^6 وP(X = 1) = 6(0.3)(0.7^5).
    • الاحتمال = 0.579825 أي 0.580 بثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: اطرح احتمالَي صفر نجاح ونجاح واحد وليس الصفر وحده.

36. 36.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «لست محاولات مستقلة احتمال نجاح 0.3 لكل منها. أوجد احتمال نجاحين على الأقل وحدّد التوزيع المستخدم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «يتبع X التوزيع Binomial(6,0.3).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [4 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يتبع X التوزيع Binomial(6,0.3). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: P(X = 0) = 0.7^6 وP(X = 1) = 6(0.3)(0.7^5). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال = 0.579825 أي 0.580 بثلاثة أرقام معنوية. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: يتبع X التوزيع Binomial(6,0.3).
    • يحدد المتطلب الناقص: P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1).
    • يحدد المتطلب الناقص: P(X = 0) = 0.7^6 وP(X = 1) = 6(0.3)(0.7^5).
    • يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال = 0.579825 أي 0.580 بثلاثة أرقام معنوية.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

37. 37.

    تُنمذج الدرجات بتوزيع طبيعي متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8. أوجد P(62 < X < 78) بثلاثة أرقام معنوية وفسّر النتيجة كتنبؤ للنموذج.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يبعد كل حد انحرافاً معيارياً واحداً عن المتوسط، لذا استخدم المساحة المركزية بين z = -1 وz = 1.
    2. يصف النموذج الطبيعي توزيعاً احتمالياً؛ وقد تختلف النسبة المرصودة في مجموعة محدودة من الدرجات.

    نقاط التصحيح

    • الحدان المعياريان (62 - 70)/8 = -1 و(78 - 70)/8 = 1.
    • الاحتمال = Phi(1) - Phi(-1) = 0.682689... = 0.683.
    • يتنبأ النموذج بنحو 68.3% من الدرجات في هذه الفترة وليس بنسبة دقيقة في كل عينة.

    ملاحظة الفاحص: استخدم الانحراف المعياري 8 وليس مربعه 64 في التوحيد المعياري.

38. 38.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «تُنمذج الدرجات بتوزيع طبيعي متوسطه 70 وانحرافه المعياري 8. أوجد P(62 < X < 78) بثلاثة أرقام معنوية وفسّر النتيجة كتنبؤ للنموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الحدان المعياريان (62 - 70)/8 = -1 و(78 - 70)/8 = 1.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 3 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [3 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الحدان المعياريان (62 - 70)/8 = -1 و(78 - 70)/8 = 1. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال = Phi(1) - Phi(-1) = 0.682689... = 0.683. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: يتنبأ النموذج بنحو 68.3% من الدرجات في هذه الفترة وليس بنسبة دقيقة في كل عينة. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: الحدان المعياريان (62 - 70)/8 = -1 و(78 - 70)/8 = 1.
    • يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال = Phi(1) - Phi(-1) = 0.682689... = 0.683.
    • يحدد المتطلب الناقص: يتنبأ النموذج بنحو 68.3% من الدرجات في هذه الفترة وليس بنسبة دقيقة في كل عينة.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

39. 39.

    يصنع المصنع A نسبة 60% من منتجات شركة وB نسبة 40%. نسب العيوب 2% في A و5% في B. منتج مختار عشوائياً معيب. أوجد احتمال أنه من B.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. يحصر الشرط الاهتمام في المنتجات المعيبة، لذا تؤثر حصة إنتاج المصنع ونسبة عيوبه معاً.
    2. في دفعة نموذجية من 10000 منتج، يساهم A بـ120 معيباً وB بـ200، فتكون الحصة المشروطة 200/320.

    نقاط التصحيح

    • P(A ومعيب) = 0.6(0.02) = 0.012.
    • P(B ومعيب) = 0.4(0.05) = 0.020.
    • احتمال العيب الكلي = 0.012 + 0.020 = 0.032.
    • P(B | معيب) = P(B ومعيب)/P(معيب).
    • الاحتمال المطلوب 0.020/0.032 = 0.625.

    ملاحظة الفاحص: P(معيب | B) = 0.05 ليست P(B | معيب).

40. 40.

    تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يصنع المصنع A نسبة 60% من منتجات شركة وB نسبة 40%. نسب العيوب 2% في A و5% في B. منتج مختار عشوائياً معيب. أوجد احتمال أنه من B.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «P(A ومعيب) = 0.6(0.02) = 0.012.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.

    [5 درجة]

    شرح الإجابة

    الشروح الإرشادية مبنية على نقاط التصحيح وليست اشتقاقات متحققاً منها بصورة مستقلة.

    1. افصل إجابة المتعلم المعطاة عن المهمة الكاملة. احتسب فقط ما تظهره الإجابة، ثم حدّد كل مطلب مفقود؛ لا تفترض خطوات غير مكتوبة.
    2. المطلب 1: يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: P(A ومعيب) = 0.6(0.02) = 0.012. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    3. المطلب 2: يحدد المتطلب الناقص: P(B ومعيب) = 0.4(0.05) = 0.020. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    4. المطلب 3: يحدد المتطلب الناقص: احتمال العيب الكلي = 0.012 + 0.020 = 0.032. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    5. المطلب 4: يحدد المتطلب الناقص: P(B | معيب) = P(B ومعيب)/P(معيب). قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    6. المطلب 5: يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال المطلوب 0.020/0.032 = 0.625. قارنه بإجابة المتعلم المعطاة؛ لا تُحتسب درجة لدليل غير موجود.
    7. راجع المهمة كاملة، بما فيها القيود والوحدات والدقة والأدلة عند ملاءمتها. تنبيه خاص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

    نقاط التصحيح

    • يقر باستحقاق الدرجة للنقطة المذكورة: P(A ومعيب) = 0.6(0.02) = 0.012.
    • يحدد المتطلب الناقص: P(B ومعيب) = 0.4(0.05) = 0.020.
    • يحدد المتطلب الناقص: احتمال العيب الكلي = 0.012 + 0.020 = 0.032.
    • يحدد المتطلب الناقص: P(B | معيب) = P(B ومعيب)/P(معيب).
    • يحدد المتطلب الناقص: الاحتمال المطلوب 0.020/0.032 = 0.625.

    ملاحظة الفاحص: تعامل مع كل نقطة تصحيح كمتطلب مستقل. لا تمنح الفكرة نفسها درجتين ولا تفترض عملاً لم يُظهره المتعلم.

أسئلة تدريبية أصلية غير رسمية من SubjectScout، وليست أسئلة أوراق سابقة رسمية.