التفاضل والتكامل المتقدم والنمذجة

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 5يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.نمط الورقة 3 (موسّعة)صعب8 درجاتآلة حاسبة+
• 6تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج عدد أفراد نوع نادر من الطيور في مدينة، P(t) بالمئات بعد t سنة من بدء الرصد، بالمعادلة التفاضلية اللوجستية dP/dt = 0.3P(1 − P/8)، مع P(0) = 1. (أ) أثبت أن P = 8 حل اتزان، وفسّره في سياق المسألة. (ب) بفصل المتغيرين، أثبت أن الحل العام يمكن كتابته P(t) = 8 / (1 + 7e^(−0.3t)). (ج) أوجد العدد المتوقع للأفراد بعد 10 سنوات. (د) أوجد الزمن الذي يكون عنده نمو العدد أسرع ما يمكن، وحدد العدد عند ذلك الزمن. (هـ) علّق على أحد قيود استخدام هذا النموذج للتنبؤ بالعدد بعد 50 سنة.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «وضع dP/dt = 0 وحل 0.3P(1 − P/8) = 0 للحصول على P = 0 أو P = 8، مع تحديد P = 8 بوصفها حل الاتزان غير التافه.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 8 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحصعب8 درجاتبدون آلة+