التفاضل والتكامل المتقدم والنمذجة

تصنيف الأوراق هنا غير رسمي وأعددناه بأنفسنا، ونطبّقه فقط حيث يطابق شكل السؤال فعلاً اتفاقية ورقة حقيقية (مثل تقسيم رياضيات IB AA بين بدون آلة حاسبة وبآلة حاسبة). لا يمثل توزيع الأوراق أو ترقيمها الرسمي في الامتحان الفعلي، والأسئلة غير المؤكدة تُصنَّف كـ«تدريب عام».

• 1يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.نمط الورقة 1متوسط4 درجاتآلة حاسبة+
• 2تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج حجم خزان بالعلاقة V(t) = 40 + 6t − 0.5t²، حيث V باللترات وt الزمن بالدقائق، لـ 0 ≤ t ≤ 12. (أ) أوجد dV/dt. (ب) أوجد الزمن الذي يكون عنده الحجم أعظمياً. (ج) حدد الحجم الأعظم.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «الاشتقاق للحصول على dV/dt = 6 − t.» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 4 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط4 درجاتبدون آلة+
• 3يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.نمط الورقة 2متوسط5 درجاتآلة حاسبة+
• 4تحليل التصحيح: يحاول متعلم الإجابة عن المهمة الآتية: «يُنمذج معدل تغير درجة حرارة مشروب بارد T (°م) بالعلاقة dT/dt = −0.12(T − 4)، حيث t بالدقائق وT = 20 ابتداءً. (أ) استخدم طريقة أويلر بخطوة طولها دقيقة واحدة لتقدير T بعد دقيقتين، مع إظهار كلتا الخطوتين. (ب) اذكر طريقة واحدة لجعل التقدير أكثر دقة دون تغيير النموذج.» وتعالج إجابته هذه النقطة فقط: «تحديد قاعدة تحديث أويلر Tₙ₊₁ = Tₙ + h·f(Tₙ).» قيّم الإجابة مقابل متطلبات المهمة الكاملة ذات 5 درجات. حدد ما يستحق درجة واذكر كل متطلب إضافي لازم للحصول على الدرجة الكاملة.تحليل تصحيحمتوسط5 درجاتبدون آلة+